Exercice n°3
Partie
Question
La résolution de l'équation \(195 x + 135 y = 15\) est-elle possible ?
Si oui, combien a t-elle de solutions avec \(0 \leq x \leq 100\) ?
Solution détaillée
On va résoudre l'équation : 195x + 135y = 15
Calcul du \(\textrm {pgcd} (a,b) :\)
Dans la colonne de gauche du tableau, on décrit l'algorithme d'Euclide.
Dans la colonne de droite, on résoud pas à pas l'équation \(195x + 135y = \textrm {pgcd} (195 , 135).\) On cherche des coefficients \(u\) et \(v\) satisfaisant aux conditions, et on montre comment on peut les calculer.
Algorithme d'Euclide | Résolution de l'équation |
\(195 = 1 . 135 + 60\) | \(60 = 1.a -1.b\) |
\(135 = 2 . 60 + 15\) | \(15 = 135 - 2 . 60\) \(15 = (0.a +1.b) - 2.(1.a -1.b)\) \(15 = -2.a +3.b\) |
\(60 = 4 . 15 + 0\) |
On obtient alors le résultat suivant :
\(\textrm {pgcd} (195, 135) = 15 = -2.a +3.b\)
15 est une solution exacte.
Condition de possibilité :
Si le \(\textrm {pgcd} (195 , 135\)) ne divise pas le second membre, l'équation est impossible.
Ici \(\textrm {pgcd} (195 , 135) = 15\)
Comme \(\textrm {pgcd} (195 , 135)\) divise \(15\) l'équation a des solutions.
On simplifie l'équation par \(\textrm {pgcd} (195 , 135)\)
L'équation donnée est équivalente à :
\(13x + 9y = 1\)
Calcul d'une solution particulière de l'équation :
\(13x + 9y = 1\) simplifiée.
On a obtenu une solution vérifiant :
\(13(-2) + 9\times 3 = 1\)
Donc le couple \((-2 , 3)\) est solution de l'équation :
\(13u + 9v = 1\)
Calcul de toutes les solutions :
Comme \((13 , 9)\) sont premiers entre eux, toutes les solutions de \(13u + 9v = 0\) sont données par \((9k , - 13k) \quad k \quad \textrm {Î} \quad \mathbb Z.\)
Conclusion :
Toutes les solutions de l'équation initiale sont :
\((-2 + 9k , 3- 13k)\) avec \(\quad k \quad \textrm {Î} \quad \mathbb Z\)