Matrices à n lignes et p colonnes

soient \(\displaystyle{\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&2\\0&3\\-1&0\\0&4\end{array}\right)}\textrm{ et }\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}0&-1&0\\1&1&1\end{array}\right)\)

On cherche à déterminer \(\mathcal{AB}\).

Cela est possible car le nombre de colonnes de \(\mathcal A\) est égal à \(2\) qui est le nombre de lignes de \(\mathcal B\). On sait que l'on va trouver une matrice de type \((4,3)\) .

En utilisant la définition on trouve que :

On peut remarquer que le produit \(\mathcal{BA}\) n'a pas de sens, puisque la matrice qui est à gauche, à savoir \(\mathcal B\), a \(3\) colonnes et que la matrice qui est à droite, à savoir\( \mathcal A\), a \(4\) lignes.

Soient deux matrices,

\(\displaystyle{\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&3\\0&0&-1\end{array}\right)}\) élément de \(\mathcal M_{2,3}(\mathbf R)\) et \(\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\1&0\\1&2\end{array}\right)\)

élément de \(\mathcal M_{3,2}(\mathbf R)\). Ici, les deux produits \(\mathcal AB\) et \(\mathcal BA\) ont un sens mais attention, on ne trouve pas, en effectuant ces deux produits, des matrices de même type.

En effet, \(\mathcal{AB}\) et \(\mathcal{BA}\) sont carrées mais \(\mathcal AB\) appartient à , alors que \(\mathcal BA\) appartient à \(\mathcal M_3(\mathbf R)\). En effectuant les produits comme précédemment, on trouve \(\mathcal{AB}=\left(\begin{array}{cccccc}6&6\\-1&-2\end{array}\right)\) et\( \mathcal BA=\left(\begin{array}{cccccc}1&2&3\\1&2&3\\1&2&-2\end{array}\right)\).

soient les deux matrices appartenant à \(\mathcal M_2(\mathbf R),\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&1\end{array}\right)\textrm{ et }\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&0\end{array}\right)\). Alors les produits \(\mathcal AB\) et\( \mathcal BA\) ont tous les deux un sens et l'on trouve, dans les deux cas, une matrice appartenant aussi à \(\mathcal M_2(\mathbf R)\) . En effectuant les produits comme précédemment, on trouve \(\mathcal AB=\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&1\end{array}\right)\textrm{ et }\mathcal BA=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&0\end{array}\right)\)

 On peut remarquer que ces deux matrices sont différentes.