Produit dans Mn(K)
L'hypothèse : " même nombre de lignes et de colonnes " enrichit beaucoup la notion de produit de matrices. En effet il y a immédiatement deux éléments très importants :
Le produit de deux éléments de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) est encore un élément de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\), le produit est donc " interne " à \(\mathcal M_n(\mathbf K)\).
Si \(\mathcal A\) et \(\mathcal B\) sont deux éléments de\( \mathcal M_n(\mathbf K)\) , on a le droit de calculer les deux produits \(\mathcal{AB}\) et \(\mathcal{BA}\) et ce sont encore des éléments de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\). Attention, on a vu que le produit n'est pas commutatif, même si \(\mathcal{AB}\) et \(\mathcal{BA}\) existent simultanément et sont de même type (voir l'exemple ci-dessous).
Complément :
Soit les deux matrices appartenant à \(\mathcal M_2(\mathbf R),\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&1\end{array}\right)\), et \(\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&0\end{array}\right)\).
Alors les produits \(\mathcal{AB}\) et\( \mathcal{BA}\) ont tous les deux un sens et l'on trouve, dans les deux cas, une matrice appartenant aussi à \(\mathcal M_2(\mathbf R)\).
En effectuant les produits, on trouve \(\mathcal{AB}=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&0\end{array}\right)\) et \(\mathcal{BA}=\left(\begin{array}{cccccc}1&1\\0&0\end{array}\right)\).
On peut remarquer que ces deux matrices sont différentes.
Exemple :
Soit les deux matrices appartenant à \(M_2 (\textrm {R}), A=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)\).
Alors les produits \(AB\) et \(BA\) ont tous les deux un sens et l'on trouve, dans les deux cas, une matrice appartenant aussi à \(M_2(\textrm{R})\).
En effectuant les produits, on trouve \(AB=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}\right)\) et \(BA=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&0\end{array}\right)\).
On peut remarquer que ces deux matrices sont différentes.
Théorème : Propriétés du produit dans \mathcal M_n(\mathbf K)
Le produit des matrices carrées d'ordre \(n\) est interne, associatif, distributif à droite et à gauche par rapport à l'addition ; il a un élément neutre, appelé la matrice unité d'ordre \(n\) et noté \(\mathcal I_n\) qui vérifie donc \(\mathcal{AI}_n=\mathcal I_n\mathcal A=\mathcal A\).
Rappelons que \(\mathcal I_n=\left(\begin{array}{cccccc}1&0&\cdots&\cdots&0\\0&1&0&\cdots1&0\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&1&0\\0&\cdots&\cdots&0&1\end{array}\right)\)
Remarque : ATTENTION !!
Certaines propriétés du produit, naturelles par exemple dans \(\mathbf R\), ne sont pas vraies dans\( \mathcal M_n(\mathbf K)\) Par exemple :
le produit n'est pas commutatif (déjà vu)
deux matrices de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\), non nulles , peuvent avoir un produit nul .
Exemple :
Soit \(\mathcal A=\left(\begin{array}{cccccc}0&1\\0&0\end{array}\right)\) et \(\mathcal B=\left(\begin{array}{cccccc}1&0\\0&0\end{array}\right)\)
Ces matrices sont non nulles et pourtant \(\mathcal{AB}=\left(\begin{array}{cccccc}0&0\\0&0\end{array}\right)\)
Complément : Conséquence
On peut avoir trois matrices \(\mathcal A, \mathcal B \textrm{ et } \mathcal C\), éléments de \(\mathcal M_n(\mathbf K)\) telles que :
\(\mathcal{AB}=\mathcal{AC}\)
\(\mathcal A\neq O\)
\(\mathcal B\neq\mathcal C\)
Exemple :
Si l'on reprend l'exemple précédent,\(\mathcal{AA}=\left(\begin{array}{cccccc}0&0\\0&0\end{array}\right)\) et donc \(\mathcal{AA}=\mathcal{AB}\), avec \(\mathcal A\) non nulle et \(\mathcal A\) et \(\mathcal B\) distinctes.