Matrices carrées

Si \(A\) est élément de \(S\) alors \(A\) commute avec toutes les matrices de \(M_2(K)\), en particulier elle commute avec les matrices \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) et \(M_4\) ; la condition est donc nécessaire.

Supposons maintenant que la matrice \(A\) commute avec \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) et \(M_4\).

Pour toute matrice \(\displaystyle{M=\left(\begin{array}{c c c}\alpha_1&\alpha_3\\\alpha_2&\alpha_4\end{array}\right)}\) de \(M_2(K)\) on a : \(M=\alpha_1M_1+\alpha_2M_2+\alpha_3M_3+\alpha_4M_4\), d'où : \(AM=A(\alpha_1M_1+\alpha_2M_2+\alpha_3M_3+\alpha_4M_4)\).

En utilisant les propriétés du produit matriciel :

\(AM=A(\alpha_1M_1)+A(\alpha_2M_2)+A(\alpha_3M_3)+A(\alpha_4M_4)\)

\(AM=\alpha_1AM_1+\alpha_2AM_2+\alpha_3AM_3+\alpha_4AM_4\).

La matrice \(A\) commute avec \(M_1\), \(M_2\), \(M_3\) et \(M_4\) donc :

\(\begin{array}{cccccc}AM&=&\alpha_1M_1A+\alpha_2M_2A+\alpha_3M_3A+\alpha_4M_4A\\&=&(\alpha_1M_1+\alpha_2M_2+\alpha_3M_3+\alpha_4M_4)A\end{array}\)

D'où finalement : \(AM=MA\).

La matrice \(A\) appartient donc à \(S\) : on a démontré que la condition est suffisante.

\(\displaystyle{M_2M_3=\left(\begin{array}{c c c}0&0\\1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}0&1\\0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}0&0\\0&1\end{array}\right)=M_4}\)

\(\displaystyle{M_1=\left(\begin{array}{c c c}1&0\\0&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}1&0\\0&1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c c c}0&0\\0&1\end{array}\right)=I-M_4}\)

Il reste maintenant à démontrer que si \(A\) commute avec \(M_2\) et \(M_3\), alors \(A\) commute avec \(M_1\) et \(M_4\).

Montrons d'abord que \(A\) commute avec la matrice \(M_4\) :

\(AM_4=A(M_2M_3)=(AM_2)M_3\) (associativité du produit)

\(AM_4=(M_2A)M_3\) (\(A\) commute avec \(M_2\))

\(AM_4=M_2(AM_3)\) (associativité du produit)

\(AM_4=M_2(M_3A)\) (\(A\) commute avec \(M_3\))

\(AM_4=(M_2M_3)A=M_4A\) (associativité du produit)

Donc \(A\) commute avec \(M_4\).

Montrons maintenant que \(A\) commute avec \(M_1:AM_1=A(I-M_4)=AI-AM_4\) (on utilise ici la distributivité à gauche du produit sur l'addition).

La matrice \(I\) commute avec toutes les matrices, \(M_4\) commute avec \(A\), d'où \(AI-AM_4=IA-M_4A=(I-M_4)A=M_1A\) (on utilise ici la distributivité à droite du produit sur l'addition).

Donc \(A\) commute avec \(M_1\).

Si \(A\) est élément de \(S\) alors \(A\) commute avec toutes les matrices de \(M_2(K)\), donc elle commute avec les matrices \(M_2\) et \(M_3\) ; la condition est nécessaire.

D'après ce qui précède :

• \(A\) commute avec les matrices \(M_2\) et \(M_3\).

  \(\Updownarrow\)

• \(A\) commute avec \(M_1, M_2, M_3\) et \(M_4\).

  \(\Updownarrow\)

• \(A\) commute avec toutes les matrices de \(M_2(K)\).

Donc "\(A\) commute avec les matrices \(M_2\) et \(M_3\)" est bien une condition nécessaire et suffisante pour que \(A\) soit élément de \(S\).

Soit la matrice \(\displaystyle{A=\left(\begin{array}{c c c}a&c\\b&d\end{array}\right)}\), d'après les questions précédentes cette matrice est élément de \(S\) si et seulement si elle commute avec les matrices \(M_2\) et \(M_3\). Il reste donc à exprimer à l'aide des coefficients \(a, b, c, d\) ces deux conditions.

\(\displaystyle{AM_2=\left(\begin{array}{c c c}a&c\\b&d\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}0&0\\1&0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}c&0\\d&0\end{array}\right)}\)

\(\displaystyle{M_2A=\left(\begin{array}{c c c}0&0\\1&0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c c c}a&c\\b&d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}0&0\\a&c\end{array}\right)}\)

D'où : \(AM_2=M_2A\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}c=0\\a=d\end{array}\right.\)

Finalement on a : \(A\in S\Leftrightarrow A\) commute avec \(M_2\) et \(M_3\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}b=0\\c=0\\a=d\end{array}\right.\Leftrightarrow\displaystyle{A=\left(\begin{array}{c c c}a&0\\0&a\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c c c}1&0\\0&1\end{array}\right)=aI}\)

L'ensemble \(S\) des matrices carrées d'ordre 2 qui commutent avec toutes les matrices de \(M_2(K)\) est donc l'ensemble des matrices de la forme \(aI\), où \(a\) est un élément quelconque de \(K\).

Ce résultat peut se généraliser à l'ordre \(n\) : les matrices carrées d'ordre \(n\) qui commutent avec toutes les matrices de \(M_n(K)\) sont les matrices de la forme \(kI\), où \(k\) est un élément quelconque de \(K\), et \(I\) la matrice identité de \(M_n(K)\).