Calcul d'inverse
Partie
Question
Soit la matrice \(A=\left(\begin{array}{c c c}1&2&-1\\2&1&0\\1&0&2\end{array}\right)\).
Par une démarche algorithmique, faisant intervenir des opérations élémentaires uniquement sur les lignes, montrer que \(A\) est équivalente à \(I_3\).
En déduire l'inversibilité de \(A\) et le calcul de son inverse.
Aide simple
On réduit \(A\) par des transformations élémentaires sur les lignes. Comme on devine, d'après le texte, que ces mêmes transformations seront utilisées pour \(I_3\), on présente le travail sous forme d'un tableau à trois colonnes.
Aide méthodologique
La question est décomposée en deux étapes et indique clairement que le calcul \(A^{-1}\) de doit se faire avec l'algorithme de recherche de l'inverse.
Aide à la lecture
La matrice \(A\) est carrée, la question de son inversibilité a donc un sens. Le texte incite à utiliser le théorème de réduction des matrices et ses applications à la caractérisation des matrices inversibles ainsi qu'au calcul de l'inverse.
Solution détaillée
On utilise la démarche de réduction du cours en ne travaillant que sur les lignes. Le travail est présenté dans un tableau où figurent dans la colonne centrale les transformations à effectuer, dans la colonne de gauche le résultat de cette action à partir de la matrice \(A\) et dans celle de droite le résultat de cette action à partir de la matrice unité.
En regardant en bas de la colonne de gauche, on déduit que la matrice \(A\) est équivalente à la matrice unité \(I_3\). Précisément il existe une matrice carrée \(P\), produit de matrices élémentaires, telle que \(PA=I_3\), alors l'égalité \(PAI_3=I_3\) exprime l'équivalence de \(A\) et \(I_3\).
Donc \(r=3\), \(A\) est inversible et son inverse est \(P\).
Dans le tableau précédent la colonne de droite est construite à partir de \(I_3\) on obtient donc en bas la matrice \(PI_3\) c'est-à-dire \(P\) ou \(A^{-1}\).