Sous-espaces supplémentaires de Mn(R)
Partie
On considère l'espace vectoriel \(\mathcal M_n(R)\) des matrices carrées d'ordre \(n\) à coefficients réels.
Une matrice \(M\) de \(\mathcal M_n(R)\) est dite symétrique si elle est égale à sa transposée.
Une matrice \(M\) de \(\mathcal M_n(R)\) est dite antisymétrique si elle est égale à l'opposée de sa transposée.
On appelle \(\mathcal S\) le sous-ensemble de \(\mathcal M_n(R)\) formé des matrices symétriques, et \(\mathcal A\) celui formé des matrices antisymétriques.
\(\mathcal S=\{M\in\mathcal M_n(R)/^tM=M\}\)
\(\mathcal A=\{M\in\mathcal M_n(R)/^tM=-M\}\)
Question
Démontrer que \(\mathcal S\) et \(\mathcal A\) sont des sous-espaces vectoriels de \(\mathcal M_n(R)\).
Aide à la lecture
Une matrice \((a_{i,j})^{1\le j\le n}_{1\le i\le n}\) est symétrique si les éléments ' symétriques ' par rapport à la diagonale principale sont égaux, c'est-à-dire : \(\forall(i,j)\in\{1,2,...,n\}^2\quad a_{j,i}=a_{i,j}\).
Dans \(M_3(R) : \left(\begin{array}{c c c}2&-1&0\\-1&1&5\\0&5&3\end{array}\right)\) est symétrique.
De même une matrice \((a_{i,j})^{1\le j\le n}_{1\le i\le n}\) est antisymétrique si : \(\forall(i,j)\in\{1,2,...,n\}^2\quad a_{j,i}=a_{i,j}\).
Ce qui entraîne nécessairement que les éléments diagonaux sont nuls.
Dans \(M_3(R) : \left(\begin{array}{c c c}0&1&-2\\-1&0&-3\\2&3&0\end{array}\right)\) est antisymétrique.
Aide méthodologique
Pour démontrer que \(\mathcal S\) et \(\mathcal A\) sont des sous-espaces vectoriels, il vaut mieux utiliser les propriétés de la transposition que la forme générale des matrices de \(\mathcal S\) et de \(\mathcal A\).
Solution détaillée
\(\mathcal S\) et \(\mathcal A\) sont des sous-ensembles non vides de \(\mathcal M_n(R)\)(la matrice nulle est une matrice qui est à la fois symétrique et antisymétrique).
Montrons que ces sous-ensembles sont stables par combinaisons linéaires :
Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathcal S\) et \(\alpha,\beta\) deux réels, alors \(\alpha A+\beta B\) est aussi élément de \(\mathcal S\), en effet : \(\quad^t(\alpha A+\beta B)=\alpha(^tA)+\beta(^tB)=\alpha A+\beta B\).
De même, si on considère \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathcal A\) et \(\alpha,\beta\) deux réels, alors \(\alpha A+\beta B\) est aussi élément de \(\mathcal A\), en effet : \(\quad^t(\alpha A+\beta B)=\alpha(^tA)+\beta(^tB)=-\alpha A-\beta B=-(\alpha A+\beta B)\).
Les sous-ensembles \(\mathcal S\) et \(\mathcal A\) sont donc des sous-espaces vectoriels de \(\mathcal M_n(R)\).
Question
Démontrer que \(\mathcal S\) et \(\mathcal A\) sont supplémentaires.
Aide simple
Pour démontrer que \(\mathcal S\) et \(\mathcal A\) sont supplémentaires, montrer d'abord que \(\mathcal S\cap\mathcal A=\{O\}\), puis que toute matrice de \(\mathcal M_n(R)\) peut s'écrire comme somme d'une matrice symétrique et d'une matrice antisymétrique.
Aide à la lecture
Une matrice \((a_{i,j})^{1\le j\le n}_{1\le i\le n}\) est symétrique si les éléments ' symétriques ' par rapport à la diagonale principale sont égaux, c'est-à-dire : \(\forall(i,j)\in\{1,2,...,n\}^2\quad a_{j,i}=a_{i,j}\).
Dans \(M_3(R) : \left(\begin{array}{c c c}2&-1&0\\-1&1&5\\0&5&3\end{array}\right)\) est symétrique.
De même une matrice \((a_{i,j})^{1\le j\le n}_{1\le i\le n}\) est antisymétrique si : \(\forall(i,j)\in\{1,2,...,n\}^2\quad a_{j,i}=a_{i,j}\).
Ce qui entraine nécessairement que les éléments diagonaux sont nuls.
Dans \(M_3(R) : \left(\begin{array}{c c c}0&1&-2\\-1&0&-3\\2&3&0\end{array}\right)\) est antisymétrique.
Aide méthodologique
Pour démontrer que \(\mathcal S\) et \(\mathcal A\) sont supplémentaires, on montre d'abord qu'ils sont en somme directe, puis que cette somme est égale à \(\mathcal M_n(R)\).
Solution détaillée
Montrons d'abord que la somme \(\mathcal S+\mathcal A\) est directe, c'est-à-dire que l'intersection ne contient que la matrice nulle.
Soit \(A\) une matrice appartenant à \(\mathcal S\cap\mathcal A\), on a :
\(A\in\mathcal S\) donc \(\quad^tA=A\)
\(A\in\mathcal A\) donc \(\quad^tA=-A\)
Nécessairement \(A=-A\), donc \(A=0\).
Il reste maintenant à démontrer que \(\mathcal S\oplus\mathcal A=\mathcal M_n(R)\).
L'inclusion \(\mathcal S\oplus\mathcal A\subset\mathcal M_n(R)\) étant évidente, on démontre que \(\mathcal M_n(R)\subset\mathcal S\oplus\mathcal A\) , c'est-à-dire que tout élément de \(\mathcal M_n(R)\) s'écrit comme somme d'un élément de \(\mathcal S\) et d'un élément de \(\mathcal A\).
Soit \(A\in\mathcal M_n(R)\), supposons qu'il existe \(U\in\mathcal S\) et \(V\in\mathcal A\) telles que \(A=U+V\)
On a donc nécessairement \(\quad^tA=^t(U+V)=^tU+^tV=U-V\).
Les matrices \(U\) et \(V\) doivent donc vérifier \(\left\{\begin{array}{llll}A=U+V&(1)\\ ~^tA=U-V&(2)\end{array}\right.\).
Des égalités (1) et (2) on déduit que si les matrices \(U\) et \(V\) existent elles sont nécessairement égales à : \(U=\frac{1}2(A+^tA)\) et \(V=\frac{1}2(A-^tA)\).
On vérifie que ces matrices conviennent :
\(U+V=A\)
\(\quad^tU=\frac{1}2(^tA+^t(^tA))=\frac{1}2(^tA+A)=U\), donc \(U\in\mathcal S\)
\(\quad^tV=\frac{1}2(^tA-^t(^tA))=\frac{1}2(^tA+A)=-V\), donc \(V\in\mathcal A\)
On a donc \(\mathcal S\oplus\mathcal A=\mathcal M_n(R)\), et ainsi toute matrice \(A\) de \(M_n(R)\) s'écrit de manière unique comme somme d'un élément de \(\mathcal S\) et d'un élément de \(\mathcal A\) :
\(A=\underbrace{\frac{1}2(A+^tA)}_{\in\mathcal S}+\underbrace{\frac{1}2(A-^tA)}_{\in\mathcal A}\)
Question
On se place dans le cas où \(n=2\).
Déterminer la dimension et donner une base de \(\mathcal S\) et de \(\mathcal A\) .
Décomposer la matrice \(A=\left(\begin{array}{c c}2&1\\-3&5\end{array}\right)\) comme somme d'une matrice de \(\mathcal S\) et d'une matrice de \(\mathcal A\) .
Aide à la lecture
Une matrice \((a_{i,j})^{1\le j\le n}_{1\le i\le n}\) est symétrique si les éléments ' symétriques ' par rapport à la diagonale principale sont égaux, c'est-à-dire : \(\forall(i,j)\in\{1,2,...,n\}^2\quad a_{j,i}=a_{i,j}\).
Dans \(M_3(R) : \left(\begin{array}{c c c}2&-1&0\\-1&1&5\\0&5&3\end{array}\right)\) est symétrique.
De même une matrice \((a_{i,j})^{1\le j\le n}_{1\le i\le n}\) est antisymétrique si : \(\forall(i,j)\in\{1,2,...,n\}^2\quad a_{j,i}=a_{i,j}\).
Ce qui entraîne nécessairement que les éléments diagonaux sont nuls.
Dans \(M_3(R) : \left(\begin{array}{c c c}0&1&-2\\-1&0&-3\\2&3&0\end{array}\right)\) est antisymétrique.
Aide méthodologique
Pour déterminer les dimensions de \(\mathcal S\) et de \(\mathcal A\) dans le cas où \(n=2\), il est plus simple de commencer par celle de \(\mathcal A\) en déterminant une base de celui-ci, puis d'utiliser le résultat obtenu à la question précédente pour connaitre la dimension de \(\mathcal S\).
Solution détaillée
On se place dans l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2 \(\mathcal M_2(R)\).
D'après les questions précédentes on sait que \(\mathcal S\) et \(\mathcal A\) sont des sous-espaces supplémentaires de \(\mathcal M_2(R)\).
On cherche d'abord une base de \(\mathcal A\).
Une matrice \(A=\left(\begin{array}{c c c}a&c\\b&d\end{array}\right)\) est élément de \(\mathcal A\) si elle vérifie \(\quad^tA=-A\), c'est-à-dire \(\left(\begin{array}{c c c}a&b\\c&d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}-a&-c\\-b&-d\end{array}\right)\)
D'où \(\left\{\begin{array}{cccccc}a=-a\\d=-d\\c=-b\end{array}\right.\), ce qui donne \(\left\{\begin{array}{cccccc}a&=&0\\d&=&0\\c&=&-b\end{array}\right.\)
Le sous-espace \(\mathcal A\) des matrices antisymétriques est donc formé des matrices du type : \(A=\left(\begin{array}{c c c}0&-b\\b&0\end{array}\right)=b\left(\begin{array}{c c c}0&-1\\1&0\end{array}\right)\).\(\mathcal A\) est donc engendré par \(V_1=\left(\begin{array}{c c c}0&-1\\1&0\end{array}\right)\) ; de plus cette matrice est non nulle, elle constitue donc une partie libre de \(\mathcal M_2(R)\). est une base de \(\mathcal A\), donc \(\textrm{dim}\mathcal A=1\).
\(\mathcal A\) et \(\mathcal S\) sont des sous-espaces supplémentaires de \(\mathcal M_2(R)\) donc \(\textrm{dim}\mathcal S+\textrm{dim}\mathcal A=\textrm{dim}\mathcal M_2(K)=4\). On en déduit que \(\textrm{dim}\mathcal S=3\).
Cherchons une base de \(\mathcal S\).
Une matrice \(A=\left(\begin{array}{c c c}a&b\\c&d\end{array}\right)\) est élément de \(\mathcal S\) si elle vérifie \(\quad^tA=A\), c'est-à-dire \(\left(\begin{array}{c c c}a&b\\c&d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c c c}a&c\\b&d\end{array}\right)\), d'où \(c=b\).
Le sous-espace \(\mathcal S\) des matrices symétriques est donc formé des matrices du type : \(A=\left(\begin{array}{c c c}a&b\\b&d\end{array}\right)=a\left(\begin{array}{c c c}1&0\\0&0\end{array}\right)+b\left(\begin{array}{c c c}0&1\\1&0\end{array}\right)+d\left(\begin{array}{c c c}0&0\\0&1\end{array}\right)\).
\(\mathcal S\) est donc engendré par les trois matrices \(U_1=\left(\begin{array}{c c c}1&0\\0&0\end{array}\right),U_2\left(\begin{array}{c c c}0&1\\1&0\end{array}\right),U_3\left(\begin{array}{c c c}0&0\\0&1\end{array}\right)\)
On a une partie génératrice de \(\mathcal S\) ayant trois éléments, or la dimension de \(\mathcal S\) est égale à trois, donc \((U_1,U_2,U_3)\) est une base de \(\mathcal S\).
Soit \(A\) la matrice \(\left(\begin{array}{c c c}2&1\\-3&5\end{array}\right)\), les sous espaces \(\mathcal S\) et \(\mathcal A\) étant supplémentaires, cette matrice s'écrit de manière unique comme somme d'un élément de \(\mathcal S\) et d'un élément de \(\mathcal A\).
D'après la question 2. on a : \(A=\underbrace{\frac{1}2(A+^tA)}_{\in\mathcal S}+\underbrace{\frac{1}2(A-^tA)}_{\in\mathcal A}\)
\(\frac{1}2(A+^tA)=\left(\begin{array}{c c c}2&-1\\-1&5\end{array}\right)\) et \(\frac{1}2(A-^tA)=\left(\begin{array}{c c c}0&2\\-2&0\end{array}\right)\)
D'où \(A=\left(\begin{array}{c c c}2&-1\\-1&5\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c c c}0&2\\-2&0\end{array}\right)\).