Matrices équivalentes
Le résultat que nous venons d'obtenir prouve que la relation entre deux matrices et \mathcal A' représentant la même application linéaire par rapport à des bases différentes est de la forme \mathcal A'=\mathcal{QAP} où \mathcal Q et \mathcal P sont des matrices carrées inversibles. Les matrices liées par une relation de ce type ont donc des propriétés automatiquement communes, celles d'une même application linéaire sous-jacente.
Définition : Définition de l'équivalence de deux matrices
Soient \mathcal A et \mathcal B deux matrices de \mathcal M_{n,p}\mathbf(K). On dit que \mathcal A est équivalente à \mathcal B si il existe une matrice carrée inversible \mathcal P\in\mathcal M_p(\mathbf K) et \mathcal Q\in\mathcal M_n(\mathbf K) une matrice carrée inversible telles que :
\mathcal A=\mathcal{QBP}
Remarque : Remarque 1
L'égalité \mathcal A=\mathcal{QBP} est équivalente à l'égalité : \mathcal B=\mathcal Q^{-1}\mathcal A\mathcal P^{-1}. Comme \mathcal Q^{-1} et \mathcal P^{-1} sont inversibles, \mathcal B est équivalente à \mathcal A. La relation est donc symétrique.
Il est immédiat qu'elle est reflexive. (il suffit de prendre \mathcal P=\mathcal I_p et \mathcal Q=\mathcal I_n on a bien \mathcal A=\mathcal I_n\mathcal A\mathcal I_p)
Enfin si \mathcal A est équivalente à \mathcal B et \mathcal B à \mathcal C alors \mathcal A est équivalente à \mathcal C (calcul immédiat sur les produits de matrices). Donc la relation est transitive.
En résumé
La relation "être équivalente" est une relation d'équivalence sur \mathcal M_{n,p}\mathbf(K).
Remarque : Remarque 2
Il résulte immédiatement de l'étude faite précédemment que deux matrices sont équivalentes si et seulement si elles représentent une même application linéaire de \mathbf K^p dans \mathbf K^n par rapport à des bases différentes.
Remarque : Remarque 3
Pour ceux qui connaissent la notion de rang d'une matrice, et son interprétation à l'aide des applications linéaires.
Deux matrices équivalentes ont même rang.
Exemple :
Une matrice carrée inversible d'ordre n quelconque est équivalente à \mathcal I_n. En effet, il est possible d'écrire \mathcal I_n(\mathcal A)\mathcal A^{-1}=\mathcal I_n; le fait que \mathcal I_n et \mathcal A^{-1} sont inversibles, permet de conclure.