Matrice, noyau, rang d'une application linéaire - 1 [Matrice et applications linéaires]

Matrice, noyau, rang d'une application linéaire - 1

Durée : 6 mn

Note maximale : 10

Soit $g$ l'application linéaire de $R^2$ dans $R^3$ , définie par $g((u,v))=(u+v,u-v,v)$ .

Déterminer sa matrice dans les bases canoniques, son noyau, son rang et son image.

La matrice de $g$ est $\left[\begin{array}{c c c}1&1\\1&-1\\0&1\end{array}\right]$

$W=(u,v)\in\mathrm{Ker}(g)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}u+&v=0&\\u-&v=0&\Leftrightarrow u=v=0\\&v=0&\end{array}$

Donc $\mathrm{Ker}(g)=\{(0,0)\}$ . $g$ est injective. On en déduit : $\mathrm{rang}(g)=2-0,\mathrm{rang}(g)=2$ .

$\mathrm{Im}(g)$ est donc un sous-espace de $R^3$ de dimension 2.

$\mathrm{Im}(g)$ est engendrée par $g((1,0))$ et $g((0,1))$ .

Donc $(1,1,0)$ et $(1,-1,1)$ forment une base de $\mathrm{Im}(g)$ .

$g$ n'est pas surjective.