Matrice et applications linéaires

Soient $E=(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb R^3$ et $U=(u_1,u_2)$ la base canonique de $\mathbb R^2$.

La matrice $A$ associée à $\phi$, application linéaire de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^2$, est une matrice à trois colonnes et deux lignes.

La première colonne de la matrice $A$ est formée des coordonnées de $\phi(e_1)$ dans la base $U$.

Or $\phi(e_1)=\phi((1,0,0))=(1,1)=1u_1+1u_2$, donc la première colonne de la matrice $A$ est $\begin{array}{c}1\\1\end{array}$.

On fait de même pour les autres vecteurs :

$\phi(e_2)=\phi((0,1,0))=(2,-2)=2u_1-2u_2$,

$\phi(e_3)=\phi((0,0,1))=(1,1)=1u_1+1u_2$,

la matrice cherchée est donc $A=\left(\begin{array}{ccc}1&2&1\\1&-2&1\end{array}\right)$.

Comme la partie $\{f_1,f_2,f_3\}$ a trois éléments dans l'espace vectoriel $\mathbb R^3$ de dimension 3, il suffit de vérifier qu'elle forme une famille libre pour qu'elle détermine une base de $\mathbb R^3$.

On montre que $\{f_1,f_2,f_3\}$ est une famille libre :

Soient $\alpha$, $\beta$, $\gamma$ trois réels tels que $\alpha f_1+\beta f_2+\gamma f_3=0$.

Comme $\alpha f_1+\beta f_2+\gamma f_3=(\alpha+\beta+\gamma,\beta+\gamma,-\alpha+\gamma)$, on résout le système :

$\left\{\begin{array}{llll}\alpha&+\beta&+\gamma&=0\\&\beta&+\gamma&=0\\-\alpha&&+\gamma&=0\end{array}\right.$ équivalent à $\left\{\begin{array}{llll}\alpha&+\beta&+\gamma&=0\\&\beta&+\gamma&=0\\&\beta&+2\gamma&=0\end{array}\right.$ équivalent à $\left\{\begin{array}{lllllll}\alpha&+\beta&+\gamma&=0\\&\beta&+\gamma&=0\\&&\gamma&=0\end{array}\right.$

La seule solution est bien $\alpha=\beta=\gamma=0$.

De même, puisque les vecteurs $v_1,v_2$ forment une famille libre, $V=(v_1,v_2)$ est une base de $\mathbb R^2$.

Pour déterminer la matrice $A'$ associée à $\phi$ par rapport aux bases $F$ et $V$, il suffit d'expliciter les images par $\phi$ de $f_1,f_2,f_3$ dans la base $V$ :

$\phi(f_1)=\phi((1,0,-1))=(0,0)=0u_1+0u_2=0v_1+0v_2$,

$\phi(f_2)=\phi((1,1,0))=(3,-1)=3u_1-u_2$ et

$\phi(f_3)=\phi((1,1,1))=(4,0)=4u_1$.

Ensuite on cherche les coordonnées de $\phi(f_2)$ et $\phi(f_3)$ dans la base $V=(v_1,v_2)$.

Il suffit de remarquer que $\displaystyle{u_1=(1,0)=\frac{1}{2}(v_1+v_2)}$ et $\displaystyle{u_2=(0,1)=\frac{1}{2}(v_1-v_2)}$,

alors : $\phi(f_2)=v_1+2v_2$ et $\phi(f_3)=2v_1+2v_2$.

D'où $A'=\left(\begin{array}{ccc}0&1&2\\0&2&2\end{array}\right)$.

On cherche une base $W=(w_1,w_2)$ de $\mathbb R^2$ telle que la matrice associée à $\phi$ par rapport aux bases $F$ et $W$ soit : $A''=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\end{array}\right)$.

Donc on veut trouver des vecteurs $w_1$ et $w_2$ de $\mathbb R^2$ tels que $\phi(f_1)=0w_1+0w_2$, $\phi(f_2)=1w_1+0w_2$ et $\phi(f_3)=0w_1+1w_2$.

La première égalité est toujours satisfaite puisque $\phi(f_1)=(0,0)=0_{\mathbb R^2}$, donc les coordonnées de $\phi(f_1)$ sur n'importe quelle base sont nulles.

Pour satisfaire les deux autres égalités, il suffit de choisir $w_1=\phi(f_2)$ et $w_2=\phi(f_3)$, après avoir remarqué que les vecteurs $\phi(f_2)=(3,-1)$ et $\phi(f_3)=(4,0)$ forment une famille libre de $\mathbb R^2$, donc déterminent une base de $\mathbb R^2$.

Donc en choisissant $w_1=(3,-1)$ et $w_2=(4,0)$, $W=(w_1,w_2)$ est la base cherchée.