Nouvelle matrice d'une application linéaire
Partie
Soit \(f\) l'application linéaire de \(\mathbb R^2\) dans \(\mathbb R^3\) dont la matrice, relativement aux bases canoniques \(B_1\) et \(B_2\) de \(\mathbb R^2\) et de \(\mathbb R^3\) respectivement, est \(A=\left(\begin{array}{cc}-1&2\\3&1\\0&-2\end{array}\right)\).
Question
Vérifier que les vecteurs \(a_1=(1,1)\), \(a_2=(0,1)\) déterminent une base \(B_3=(a_1,a_2)\) de \(\mathbb R^2\) et que les vecteurs \(b_1=(1,-1,0)\), \(b_2=(0,1,-1)\), \(b_3=(1,0,1)\) déterminent une base \(B_4=(b_1,b_2,b_3)\) de \(\mathbb R^3\).
Aide simple
La matrice de passage de \(B_2\) à \(B_4\) est \(P_{B_2,B_4}=\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\-1&1&0\\0&-1&1\end{array}\right)\).
Aide méthodologique
Vérifier que les familles sont libres.
Solution détaillée
Il est immédiat que les 2 vecteurs \(a_1=(1,1)\), \(a_2=(0,1)\) n'étant pas colinéaires forment une famille libre, donc déterminent une base de \(\mathbb R^2\).
Considérons trois réels \(\lambda_1, \lambda_2,\lambda_3\) tels que \(\lambda_1b_1+\lambda_2b_2+\lambda_3b_3=0\). Alors ils vérifient
\(\left\{\begin{array}{lllllll}\lambda_1&&+\lambda_3&=0\\-\lambda_1&+\lambda_2&&=0\\&-\lambda_2&+\lambda_3&=0\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lllllll}\lambda_1&&+\lambda_3&=0\\&\lambda_2&+\lambda_3&=0\\&-\lambda_2&+\lambda_3&=0\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lllllll}\lambda_1&&+\lambda_3&=0\\&\lambda_2&+\lambda_3&=0\\&&2\lambda_3&=0\end{array}\right.\)
d'où \(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0\).
Les 3 vecteurs \(b_1,b_2,b_3\) constituent une famille libre dans un espace vectoriel de dimension 3, ils déterminent donc une base de \(\mathbb R^3\).
Question
Calculer la matrice \(A'\) de \(f\) relativement aux bases \(B_3\) et \(B_4\).
Aide simple
La matrice de passage de \(B_2\) à \(B_4\) est \(P_{B_2,B_4}=\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\-1&1&0\\0&-1&1\end{array}\right)\).
Aide à la lecture
La matrice \(A=[f]_{B_1}^{B_2}\) est donnée, il s'agit de trouver \(A'=[f]_{B_3}^{B_4}\).
Aide méthodologique
Rechercher les matrices de passage et appliquer la formule de changement de bases.
Solution détaillée
D'après la formule de changement de bases \([f]_{B_3}^{B_4}=P_{B_4,B_2}[f]_{B_1}^{B_2}P_{B_1,B_3}\).
La matrice de passage de la base \(B_1\) à la base \(B_3\) est \(P_{B_1,B_3}=\left(\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right)\).
Pour trouver la matrice de passage de la base \(B_4\) à la base \(B_2\), il faut exprimer les vecteurs de \(B_2\) comme combinaisons linéaires des vecteurs de \(B_4\).
Si \(B_2=(\epsilon_1,\epsilon_2,\epsilon_3)\), base canonique de \(\mathbb R^3\),
\(\left\{\begin{array}{lllllll}\epsilon_1&-\epsilon_2&&=b_1\\&\epsilon_2&-\epsilon_3&=b_2\\\epsilon_1&&+\epsilon_3&=b_3\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lllllll}\epsilon_1&-\epsilon_2&&=b_1\\&\epsilon_2&-\epsilon_3&=b_2\\&\epsilon_2&+\epsilon_3&=b_3-b_1\end{array}\right.\Rightarrow\left\{\begin{array}{lllllll}\epsilon_1&-\epsilon_2&&=b_1\\&\epsilon_2&-\epsilon_3&=b_2\\&&2\epsilon_3&=b_3-b_1-b_2\end{array}\right.\)
donc \(\displaystyle{\epsilon_3=-\frac{1}{2}b_1-\frac{1}{2}b_2+\frac{1}{2}b_3,\quad\epsilon_2=-\frac{1}{2}b_1+\frac{1}{2}b_2+\frac{1}{2}b_3,\quad\epsilon_1=\frac{1}{2}b_1+\frac{1}{2}b_2+\frac{1}{2}b_3 ,}\)
et \(P_{B_4,B_2}=\left(\begin{array}{ccc}\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{-\frac{1}{2}}&\displaystyle{-\frac{1}{2}}\\\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{-\frac{1}{2}}\\\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{\frac{1}{2}}\end{array}\right)\).
Il reste à calculer \(A'=\left(\begin{array}{ccc}\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{-\frac{1}{2}}&\displaystyle{-\frac{1}{2}}\\\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{-\frac{1}{2}}\\\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{\frac{1}{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1&2\\3&1\\0&-2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&0\\1&1\end{array}\right)\)
\(A'=\left(\begin{array}{ccc}\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{-\frac{1}{2}}&\displaystyle{-\frac{1}{2}}\\\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{-\frac{1}{2}}\\\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{\frac{1}{2}}&\displaystyle{\frac{1}{2}}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1&2\\4&1\\-2&-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\displaystyle{-\frac{1}{2}}&\displaystyle{\frac{3}{2}}\\\displaystyle{\frac{7}{2}}&\displaystyle{\frac{5}{2}}\\\displaystyle{\frac{3}{2}}&\displaystyle{\frac{1}{2}}\end{array}\right)\)