Rang de matrices

1. (4 pts)

La matrice \(A\), étant de rang \(r\), est équivalente à la matrice \(A'\) de \(M_{p,n}(\mathbb R)\) définie par : \(A'=\left(\begin{array}{cc}I_r&0_{r,n-r}\\0_{p-r,r}&0_{p-r,n-r}\end{array}\right)\)

donc il existe deux matrices carrées inversibles \(R_1\) d'ordre \(p\) et \(R_2\) d'ordre \(n\) telles que \(A=R_1A'R_2\).

De même la matrice \(B\), étant de rang \(s\), est équivalente à la matrice \(B'\) de \(M_{n,q}(\mathbb R)\) définie par \(B'=\left(\begin{array}{cc}I_s&0_{s,q-s}\\0_{n-s,s}&0_{n-s,q-s}\end{array}\right)\)

donc il existe deux matrices carrées inversibles \(S_1\) d'ordre \(n\) et \(S_2\) d'ordre \(q\) telles que \(B=S_1B'S_2\).

Alors \(AB=R_1A'R_2S_1B'S_2\).

En posant \(P=R_2S_1\), on en déduit que \(AB\) est équivalente à la matrice \(A'PB'\). Comme deux matrices équivalentes ont même rang, on en conclut que \(AB\) a même rang que la matrice \(U=\left(\begin{array}{cc}I_r&0_{r,n-r}\\0_{p-r,r}&0_{p-r,n-r}\end{array}\right)\textrm{ }P\textrm{ }\left(\begin{array}{cc}I_s&0_{s,q-s}\\0_{n-s,s}&0_{n-s,q-s}\end{array}\right)\).

La matrice \(P\), produit de deux matrices carrées inversibles d'ordre \(n\), est une matrice carrée inversible d'ordre \(n\).

2.

a) (2 pts)

Soit \(Q=\left(\begin{array}{cc}I_r&0_{r,n-r}\\0_{p-r,r}&0_{p-r,n-r}\end{array}\right)P\), avec \(P=(c_{i,j})_{1\le i,j\le n\).

La matrice \(Q\) est le produit d'une matrice de type \((p,n)\) par une matrice de type \((n,n)\), c'est une matrice de type \((p,n)\).

\(Q=\overbrace{\left(\begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&0\\0&0&\cdots&1\\0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&0\\0&0&\cdots&0}\end{array}}^{r\textrm{ colonnes}}\) \(\overbrace{\left{\begin{array}{ccc}0&\cdots&0\\0&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0\\0&\cdots&0\\0&\ddots&0\\0&\cdots&0\end{array}\right)}^{n-r\textrm{ colonnes}}\) \(\left(\begin{array}{cccc}c_{1,1}&c_{1,2}&\cdots&c_{1,n}\\c_{2,1}&c_{2,2}&\cdots&c_{2,n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\c_{r,1}&c_{r,2}&&c_{r,n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\c_{n,1}&c_{n,2}&\cdots&c_{n,n}\end{array}\right)\)

On vérifie que la matrice \(Q\) a ses \(r\) premières lignes égales aux \(r\) premières lignes de \(P\) et ses \(p-r\) dernières lignes toutes nulles :

b) (2 pts)

Soit \(U=Q\left(\begin{array}{cc}I_s&0_{s,q-s}\\0_{n-s,s}&0_{n-s,q-s}\end{array}\right)\).

La matrice \(U\) est le produit d'une matrice de type \((p,n)\) par une matrice de type \((n,q)\), c'est une matrice de type \((p,q)\).

\(U=\left(\begin{array}{cccccc}c_{1,1}&c_{1,2}&\cdots&c_{1,s}&\cdots&c_{1,n}\\c_{2,1}&c_{2,2}&\cdots&c_{2,s}&\cdots&c_{2,n}\\\vdots&\vdots&&\vdots&&\vdots\\c_{r,1}&c_{r,2}&\cdots&c_{r,s}&\cdots&c_{r,n}\\0&0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\cdots&\cdots&0\end{array}\right)\end{array}\) \(\overbrace{\left(\begin{array}{cccc}1&0&\cdots&0\\0&1&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&0\\0&0&\cdots&1\\0&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&0\\0&0&\cdots&0}\end{array}}^{s\textrm{ colonnes}}\) \(\overbrace{\left{\begin{array}{ccc}0&\cdots&0\\0&\cdots&0\\\vdots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0\\0&\cdots&0\\0&\ddots&0\\0&\cdots&0\end{array}\right)}^{q-s\textrm{ colonnes}}\)

On vérifie que la matrice \(U\) a ses \(s\) premières colonnes égales aux \(s\) premières colonnes de \(Q\) et ses \(q-s\) dernières colonnes toutes nulles :

c) (2 pts)

La matrice \(U\) a le même rang que ses \(q\) vecteurs colonnes ; comme les \(q-s\) dernières colonnes sont toutes nulles, son rang est inférieur ou égal à \(s\).

La matrice \(U\) a aussi le même rang que ses \(p\) vecteurs lignes ; comme les \(p-r\) dernières lignes sont toutes nulles, son rang est inférieur ou égal à \(r\).

Donc le rang de \(AB\), qui est égal au rang de \(U\), est bien inférieur ou égal au rang de \(A\) et au rang de \(B\).

\(\textrm{rang}(AB)\le\textrm{min}(\textrm{rang}(A),\textrm{rang}(B))\)

3. Soient \(C_1,C_2,...,C_n\) les \(n\) vecteurs colonnes de la matrice \(Q\) :

a) (3 pts)

Le rang de la famille \(\{C_1,C_2,...,C_n\}\) est la dimension du sous-espace \(Vect(\{C_1,C_2,...,C_n\})\) engendré par cette famille.

Soit \(l\) un entier compris entre 1 et \(n\).

Alors \(Vect(\{C_1,C_2,...,C_n\})=Vect(\{C_1,C_2,...,C_l\})+Vect(\{C_{l+1},C_{l+2},...,C_n\})\).

Donc \(\textrm{dim }Vect(\{C_1,C_2,...,C_n\})\le\textrm{dim }Vect(\{C_1,C_2,...,C_l\})+\textrm{dim }Vect(\{C_{l+1},C_{l+2},...,C_n\})\)

Comme \(\textrm{dim }Vect(\{C_{l+1},C_{l+2},...,C_n\})\) est inférieur ou égal au nombre \((n-l)\) de vecteurs qui engendrent \(\textrm{dim }Vect(\{C_{l+1},C_{l+2},...,C_n\})\), on en déduit bien :

\(\textrm{rang}(C_1,C_2,...,C_n)\le\textrm{rang}(C_1,C_2,...,C_l)+n-l\)

b) (4 pts)

Choisissons \(l=s=\textrm{rang}(B)\). On a donc \(\textrm{rang}(C_1,C_2,...,C_n)\le\textrm{rang}(C_1,C_2,...,C_s)+n-s\).

• Les vecteurs \(C_1,C_2,...,C_n\) sont les \(n\) vecteurs colonnes de la matrice \(Q\),donc \((C_1,C_2,...,C_n)=\textrm{rang}(Q)\).

  Comme \(Q=\left(\begin{array}{c c}I_r&O_{r,n-r}\\O_{p-r,r}&O_{p-r,n-r}\end{array}\right)\), où \(P\) est une matrice inversible, la matrice \(Q\) est équivalente à la matrice \(Q=\left(\begin{array}{c c}I_r&O_{r,n-r}\\O_{p-r,r}&O_{p-r,n-r}\end{array}\right)\) donc \(Q\) est de rang \(r\).

  Or \(r\) est le rang de \(A\) donc \((C_1,C_2,...,C_n)=\textrm{rang}(A)\).

• Les vecteurs \(C_1,C_2,...,C_s\) sont les \(s\) premiers vecteurs colonnes de la matrice \(Q\), ce sont aussi les \(s\) premiers vecteurs colonnes de la matrice \(U\), les \(q-s\) autres vecteurs de la matrice \(U\) étant nuls. Donc \(\textrm{rang}(C_1,C_2,...,C_s)=\textrm{rang}(U)\).

  Or le rang de \(U\) est égal au rang de \(AB\) (d'après la question 1.),donc \(\textrm{rang}(C_1,C_2,...,C_s)=\textrm{rang}(AB)\).

On en conclut que \(\textrm{rang}(A)\le\textrm{rang}(AB)+n-\textrm{rang}(B)\) donc \(\textrm{rang}(AB)\ge\textrm{rang}(A)+\textrm{rang}(B)-n\)

4. (3 pts)

Soit \(E\) une matrice carrée non nulle d'ordre 3 telle que \(E^2=0\).

D'après l'inégalité précédente, \(\textrm{rang}(E^2)\ge2\textrm{ rang}(E)-3\).

Or \(E^2=0\), donc \(\textrm{rang}(E^2)=0\). Donc \(\textrm{rang }(E)\le\frac{3}2\).

Comme \(E\) n'est pas nulle, le seul entier qui convient est 1 donc \(\textrm{rang}(E)=1\)