Introduction : des études locales

Les développements limités sont un outil permettant de traiter par exemple les deux problèmes suivants :

• Problème 1 :

  calculer \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{g(x)}}\) (lorsque qu'on a une indétermination).

• Problème 2 :

  soit \(\Gamma_1\) et \(\Gamma_2\) les courbes d'équations \(y=f(x)\) et \(y=g(x)\).

  Etudier la position relative de \(\Gamma_1\) et \(\Gamma_2\) au voisinage de 0, et plus particulièment le cas important où \(\Gamma_2\) est la tangente de \(\Gamma_1\) au point d'abscisse 0.

Pour le problème 1, si on doit calculer \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}\frac{f(x)}{g(x)}}\) pour un \(x_0\) non nul, on pose \(F(t)=f(t+x_0)\), \(G(t)=g(t+x0)\), et on cherche \(\displaystyle{\lim_{t\rightarrow0}\frac{F(x)}{G(x)}}\) .

Pour le problème 2, si on doit chercher la position de \(\Gamma_1\), graphe de \(f\), par rapport à \(\Gamma_2\), graphe de \(g\), en un point \(x_0\) non nul, on compare les valeurs en 0 des fonctions \(F(t)=f(t+x_0)\) et \(G(t)=g(t+x_0)\).