Intégration des développements limités
Et maintenant l'intégration des développements limités. On peut intégrer terme à terme un développement limité ; de façon précise :
Proposition : Proposition 8
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un voisinage \(V(0)\) de 0, dont la dérivée \(f'\) admet un développement limité à l'ordre \(n\) en 0 :
\(\displaystyle{f'(x)=\sum_{k=0}^{k=n}a_kx^k+x^n\epsilon_1(x)}\) ,
alors \(f\) admet un développement limité à l'ordre \((n+1)\) en 0 :
\(\displaystyle{f(x)=f(0)+\sum_{k=0}^{k=n}\frac{a_k}{k+1}x^{k+1}+x^{n+1}\epsilon_2(x)}\).
Preuve :
En effet, notons :
\(\displaystyle{Q(x)=\sum_{k=0}^{k=n}a_kx^k}\) et \(\displaystyle{P(x)=f(0)+\sum_{k=0}^{k=n}\frac{a_k}{k+1}x^{k+1}}\).
On a \(P'(x)=Q(x)\) et \(P(0)=f(0)\). Il s'agit de montrer que \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)-P(x)}{x^{n+1}}=0}\) ;
on posera alors \(\displaystyle{\epsilon_2(x)=\frac{f(x)-P(x)}{x^{n+1}}}\).
Soit \(\epsilon>0\), on doit donc trouver un \(\eta>0\) tel que pour tout \(x\in V(0)\) vérifiant \(0<|x|<\eta\) alors \(\displaystyle{\left|\frac{f(x)-P(x)}{x^{n+1}}\right|<\epsilon}\).
Posons \(\phi(x)=f(x)-P(x)\) ; \(\phi\) est définie et dérivable sur \(V(0)\), et on a \(\phi'(x)=f'(x)-P'(x)=f'(x)-Q(x)=x^n \epsilon_1(x)\). Comme \(\lim_{x\rightarrow0}\epsilon_1(x)=0\) il existe \(\eta>0\) tel que pour tout \(x\in V(0)\) vérifiant \(0<|x|<\eta\) alors \(|\epsilon_1(x)|<\eta\) et donc pour tout \(x\in V(0)\), vérifiant \(0<|x|<\eta\), on a : \(|\phi'(x)|<|x|^n\epsilon\).
Soit \(x\in V(0)\subset]-\eta,\eta[\), \(x\ne0\) ; appliquons l'inégalité des accroissements finis (théorème 0-2) à \(\phi\) sur l'intervalle \([0 ,x]\) si \(x>0\) ou \([x ,0]\) si \(x<0\) : d'abord pour tout \(t\in]0,x[\) si \(x>0\) (ou \(]x ,0[\) si \(x<0\)), on a \(|\phi'(t)|≤|t|^n\epsilon<|x|^n\epsilon\), d'où :
\(|\phi(x)-\phi(0)|=|\phi(x)|<|x|\times|x|^n\epsilon\)
On obtient donc : \(\displaystyle{\left|\frac{\phi(x)}{x^{n+1}}\right|=\left|\frac{f(x)-P(x)}{x^{n+1}}\right|<\epsilon}\) ,
d'où le résultat.