Exercice n°2
Partie
On considère l'équation différentielle
\(\displaystyle{y'=xy}\).
Question
Dans quelles régions du plan \((x,y)\) les solutions sont-elles croissantes ? Décroissantes ?
Solution détaillée
Les solutions de l'équation \(y'=xy\) sont croissantes dans les deux quarts de plan \((x>0,y>0)\) et \((x<0,y<0)\), et décroissantes dans les deux quarts de plan \((x>0,y<0)\) et \((x<0,y>0)\).
Question
Tracer les isoclines de pente \(-2,-1,0,1,2\).
Si \(p\) est non nul, l'isocline de pente \(p\) est une hyperbole.
Solution détaillée
L'isocline de pente \(0\) est la réunion des deux axes des coordonnées.
Si \(p\) est non nul, l'isocline de pente \(p\) est le graphe de l'hyperbole \(y=p/x\).
Question
Essayer de tracer l'allure des graphes de solutions (ils doivent couper chaque isocline avec la pente requise).
Solution détaillée
En cliquant sur la figure ci-dessous, vous verrez apparaître des graphes de solutions, et pourrez constater qu'elles coupent chaque isocline avec la pente appropriée.