Généralités

L'addition est régulière : Si $u, v$, et $w$ sont des vecteurs tels que

$u + v = u + w$, alors $v = w$

En ajoutant aux deux membres de l'égalité $u+ v = u + w$ le symétrique de $u$, soit $-u$, on obtient l'égalité

$(-u) + (u + v) = (-u) + (u + w)$

Ce qui, en utilisant l'associativité de l'addition des vecteurs, permet d'obtenir l'égalité

$((-u)+ u) +v = ((-u) + u) + w$

Or $((-u) + u) = 0_E$ d'après la définition du symétrique, l'égalité devient donc

$0_E + v = 0_E + w$

d'où $v = w$ d'après la définition de l'élément neutre de l'addition.

Pour tout vecteur $v$ de $E,0_\mathbf{K} v = 0_E$

Le point de départ de la démonstration est l'égalité dans $\mathbf K$

$0_\mathbf K + 0_\mathbf K = 0_\mathbf K$

D'où, pour tout vecteur $v$ de $E$, l'égalité :

$(0_\mathbf K + 0_\mathbf K)v = 0_\mathbf Kv$

Soit en utilisant la distributivité de la loi externe par rapport à la loi interne et la définition de l'élément neutre

$0_\mathbf K v + 0_\mathbf K v = 0_\mathbf K v = 0_\mathbf K v + 0_E$

Ce qui permet d'obtenir l'égalité souhaitée $0_\mathbf K v = 0_E$ grâce à la propriété 1

Pour tout $\alpha$ élément de $\mathbf K, \alpha 0_E = 0_E$

La preuve est semblable en partant de l'égalité $0_E + 0_E = 0_E$

En multipliant les deux membres de l'égalité par $\alpha$, il vient $\alpha (0_E + 0_E) = \alpha 0_E$ d'où en utilisant la distributivité de l'addition par rapport la loi externe et la définition de l'élément neutre,

$\alpha 0_E + \alpha 0_E = \alpha 0_E 0_E$

d'où en simplifiant, ce qui est licite d'après la propriété 1, $\alpha0_E = 0_E$

Pour tout vecteur $v$ de $E, (-1) v = -v$

Compte tenu de la définition du symétrique pour l'addition d'un élément de $E$ il suffit, pour justifier la propriété, de calculer l'expression $v + (-1)v$

$v + (-1)v = 1 v + (-1)v$ (propriété de la multiplication par 1)

d'où $v + (-1)v = (1 + (-1))v$ (distributivité de l'addition des scalaires)

d'où $v + (-1)v = 0_\mathbf K v$ car dans $\mathbf K,1 + (-1)v = 0_E$

Le vecteur $(-1)v$ est donc ainsi le symétrique du vecteur $v$.

L'opération $(v,w) \mapsto v + (-w)$ s'appelle la soustraction ; le vecteur $v + (-w)$ est noté $v -w$. Les propriétés suivantes sont satisfaites :

• a) Pour tout scalaire $\alpha$ et tous vecteurs $v$ et $w$, $\alpha(v - w) = \alpha v - \alpha w$

• b) Pour tout scalaire $\alpha$ et $\beta$ et tout vecteur $v$, $(\alpha, \beta)v = \alpha v - \beta v$

Les outils essentiels de la preuve de ces deux propriétés sont :

• la définition du symétrique d'un vecteur,

• les propriétés d'associativité de l'addition et de distributivité par rapport à la loi externe.

Avec la notation introduite dans l'énoncé, $\alpha v - \alpha v$ est égal à $\alpha v + (- \alpha w)$. Alors,

$\alpha(v - w) + \alpha w = \alpha[(v + (-w)) + w]$(distributivité)

$\alpha(v - w) + \alpha w = \alpha [v + ((-v) + w)]$ (associativité de l'addition dans $E$)

$\alpha(v - w) + \alpha w = \alpha [v + 0_E]$ (définition du symétrique)

d'où $\alpha(v - w) + \alpha w = \alpha v$ (définition de l'élément neutre)

ce qui donne le résultat en rajoutant à chaque membre de l'égalité le symétrique de $\alpha w$

Elle est du même type. Le point de départ en est le calcul de $(\alpha - \beta)v + \beta v$.

On a

$(\alpha - \beta) v + \beta v = [(\alpha - \beta) + \beta] v$ (distributivité)

$(\alpha - \beta) v + \beta v = [\alpha + ((-\beta) + \beta)]v$ (associativité de l'addition dans $\mathbf K$)

$(\alpha - \beta) v + \beta v = [\alpha + 0_\mathbf K]v$ (définition du symétrique dans $\mathbf K$)

$(\alpha - \beta) v + \beta v = \alpha v$ (propriété de l'élément neutre dans $\mathbf K$)

Ce qui donne le résultat en rajoutant à chaque membre de l'égalité le symétrique de $\beta v$.

Si $\lambda$ est un scalaire et $v$ un vecteur tels que $\lambda v = 0$ alors soit $\lambda = 0$, soit $v = 0$