Sous-espace engendré par une partie finie
Théorème : Théorème de structure de l'ensemble des combinaisons linéaires
Soit \(\{ v_1, v_2, ... ,v_p\}\) une partie finie du \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\), alors l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs \(v_1, v_2, ... ,v_p\) est un sous-espace vectoriel de \(E\); c'est le plus petit sous-espace vectoriel de \(E\) (au sens de l'inclusion) contenant les vecteurs \(v_1, v_2, ... ,v_p\) : autrement dit, il est inclus dans tout sous-espace vectoriel contenant \(\{ v_1, v_2, ... ,v_p\}\).
Preuve :
On appelle \(F\) l'ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs \(v_1, v_2, ... ,v_p\). Cet ensemble est non vide, car il contient la combinaison linéaire particulière \(0v_1, 0v_2, ... ,0v_p\) qui vaut \(0_E\).
On peut également vérifier que \(v_1, v_2, ... ,v_p\) appartiennent à \(F\), en effet pour tout \(k\) compris entre \(1\) et \(p\), \(v_k\) est combinaison linéaire de \(v_1, v_2, ... ,v_p\) (il suffit de considérer la combinaison linéaire où tous les coefficients sont nuls sauf le \(K^{\textrm{i\`eme}}\) qui vaut 1).
Il s'agit maintenant de prouver que \(F\) est stable par combinaison linéaire de deux vecteurs.
Soit \(u\) et \(w\) deux vecteurs de \(F\) et deux scalaires \(\alpha\) et \(\beta\).
Comme \(u\) est élément de \(F\), il existe des scalaires \(\lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_p\) tels que
\(u = \lambda_1v_1 + \lambda_2v_2 +... + \lambda_pv_p\)
De même, \(w\) étant élément de \(F\), il existe des scalaires
\(\mu_1, \mu_2, ... , \mu_p\) tels que
\(w = \mu_1 v_1 + \mu_2 v_2+ ... + \mu_p v_p\)
D'où\( \alpha u + \beta w = \alpha (\lambda_1 v_1 + \lambda_2v_2 + ... + \lambda_pv_p)+ \beta(\mu_1 v_1 + \mu_2 v_2+ ... + \mu_p v_p)\)
En utilisant les règles de calcul dans un espace vectoriel, on obtient :
\(\alpha u + \beta w = (\alpha \lambda_1 + \beta \mu_1)v_1 + (\alpha \lambda_2 + \beta \mu_2)v_2 + ... + (\alpha \lambda_p + \beta \mu_p)v_p\)
C'est une combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... ,v_p\) donc un élément de \(F\).
Si \(G\) est un sous-espace vectoriel contenant \(\{ v_1, v_2, ... ,v_p\}\) alors il est stable par combinaison linéaire ; il contient donc toute combinaison linéaire des vecteurs \(v_1, v_2, ... ,v_p\). Par conséquent \(F\) est inclus dans \(G : F\) est le plus petit sous-espace (au sens de l'inclusion) contenant \(\{ v_1, v_2, ... ,v_p\}\).
Complément : Notation
Ce sous-espace vectoriel est appelé sous-espace engendré par \(v_1, v_2, ... ,v_p\), il est noté :
\(\mathrm{Vect} (\{ v_1, v_2, ... ,v_p\})\) ou \(\langle v_1, v_2, ... v_p \rangle\) ou \(\overrightarrow{\{ v_1, v_2, ... ,v_p\}}\) ou \(\mathrm{lin}(\{ v_1, v_2, ... ,v_p\})\)
\(\begin{array}{c}u \in \mathrm{Vect} (\{ v_1, v_2, ... ,v_p\})\\\Updownarrow\\\exists(\lambda_1, \lambda_2, ... , \lambda_p) \in \mathbb K^p / u = \lambda_1 v_1 + \lambda_2v_2 + ... + \lambda_pv_p\end{array}\)
Exemple :
\(E\) étant un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel, et \(u\) un élément quelconque de \(E\),
l'ensemble \(F = \{\alpha u / \alpha \in \mathbb K \}\) est le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par \(\{u\}\).
Il est souvent noté \(\mathbf Ku\).
Soit \(E\) l'espace vectoriel des applications de \(\mathbb R\) dans \(\mathbb R\) et \(e_0\), \(e_1\) et \(e_2\) les applications définies par :
\(\forall x \in \mathbb R\), \(e_0(x) = 1\), \(e_1(x) = x\textrm{ et }e_2(x) = x^2\)
Le sous-espace vectoriel de \(E\) engendré par \(\{ e_0, e_1, e_2\}\) est l'espace vectoriel des fonctions polynômes de degré inférieur ou égal à 2, c'est-à-dire de la forme
\(f:x \mapsto a x^2 + bx + c (f = a e_2 + be_1 + c_e0)\)
Méthode :
On peut démontrer qu'une partie non vide \(F\) d'un espace vectoriel \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\) en montrant que \(F\) est égal à l'ensemble des combinaisons linéaires d'un nombre fini de vecteurs de \(E\).
Exemple :
Soit \(F=\{ (x,y,z) \in \mathbb R^3 / x - y - z = 0\}\).
Un triplet \(u = (x,y,z)\) de \(\mathbb R^3\) est élément de F si et seulement si \(x - y - z = 0\) , c'est-à-dire si et seulement si \(x= y + z\).
Donc u est élément de F si et seulement si u peut s'écrire :
\(u = (y + z , y , z)\)
Or on a l'égalité :
\((y + z, y, z) = y(1,1,0) + z(1,0,1)\)
Donc F est l'ensemble des combinaisons linéaires de \(\{ (1,1,0),(1,0,1)\}\), c'est donc un sous-espace vectoriel : c'est le sous-espace vectoriel engendré par \(\{ (1,1,0),(1,0,1)\}\)
Propriété : Propriété de transitivité
Soit \(F\) un sous-espace engendré par \(n\) vecteurs \(v_1, v_2, ... , v_n\).
On suppose qu'il existe p vecteurs \(w_1, w_2, ... , w_p\) appartenant à \(F\) tels que pour tout \(i, 1\le i \le n\), \(v_i\) soit une combinaison linéaire de \(w_1, w_2, ... , w_p\).
Alors \(F\) est engendré par \(w_1, w_2, ... , w_p\).
La démonstration est laissée à titre d'exercice...