Théorème de structure - Notation
Soit \(E\) et \(F\) deux \(\mathbf K\textrm{-espaces}\) vectoriels. Le produit cartésien \(E \times F\) va pouvoir être muni lui aussi d'une structure de \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel.
Remarque :
Il est habituel, lorsqu'on considère un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel \(E\), de noter sa loi interne par le signe +, et sa loi externe par juxtaposition du scalaire et du vecteur.
Lorsqu'on considère deux ou plusieurs espaces vectoriels, leurs lois internes et externes peuvent être des lois totalement différentes (bien qu'ayant les mêmes propriétés), par exemple la somme dans \(\mathbb R^3\) (notée +) n'est pas la même que celle (notée + aussi) de l'espace vectoriel des fonctions réelles.
Aussi, momentanément et pour une meilleure compréhension des définitions et des démonstrations, les signes + vont être différenciés par des couleurs et les lois externes vont être matérialisées par des signes \(\mathbf{.}\) de couleurs différentes.
Soit donc \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels sur le même corps \(\mathbf K\), \(E\) muni de sa loi de composition interne notée + et de sa loi de composition externe notée \(\mathbf{.}\), et \(F\) muni de sa loi de composition interne notée + et de sa loi de composition externe notée \(\mathbf{.}\)
Le produit cartésien \(E \times F\) peut alors être muni lui aussi :
d'une loi de composition interne, notée +, définie par :
\(\forall(x,y) \in E \times F, \forall(x', y') \in E \times F\),
\((x,y) + (x', y') := (x + x', y + y')\)
d'une loi de composition externe, notée \(\mathbf{.}\) , de domaine d'opérateurs \(\mathbf K\), définie par :
\(\forall(x,y) \in E \times F, \forall \lambda\in \mathbf K\),
\(\lambda . (x,y) := (\lambda . x, \lambda . y)\)
Théorème : Théorème de structure
Le produit cartésien \(E \times F\) des deux \(\mathbf K\textrm{-espaces}\) vectoriels \(E\) et \(F\), muni des deux lois précédentes, qui découlent de celles de \(E\) et de \(F\), est un \(\mathbf K\textrm{-espace}\) vectoriel.
Notation
Dans le cas particulier où \(E = F\), le produit \(E \times E\) est noté \(E^2\).
On retrouve le \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb R^2\), le \(\mathbb C\textrm{-espace}\) vectoriel \(\mathbb C^2\). De même \(\mathbb C^2\) est un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel puisque \(\mathbb C\) est un \(\mathbb R\textrm{-espace}\) vectoriel.