Théorème de structure - Notation [Constructions]

Théorème de structure - Notation

Pour tout entier $n > 2$ , le produit cartésien de $n$ $\mathbf K\textrm{-espaces}$ vectoriels peut être muni, comme dans le cas $n = 2$ , de deux lois de composition, induites par celles des espaces vectoriels.

Théorème : Théorème de structure

Si $E_1, E_2, ... , E_n$ sont des espaces vectoriels sur le même corps $\mathbf K$ , le produit cartésien $\displaystyle{ \prod_{p=1}^{p=n} } E_p = E_1 \times E_2\times ... \times E_n$ , muni de la loi interne + définie par :

$(x_1, x_2, ... , x_n) + (y_1, y_2, ... , y_n) := (x_1 + y_1, x_2 + y_2, ... , x_n + y_n)$

et de la loi externe de domaine d'opérateurs $\mathbf K$ , définie pour tout élément $\lambda$ de $\mathbf K$ par :

$\lambda (x_1, x_2, ... , x_n) := (\lambda x_1,\lambda x_2, ... , \lambda x_n)$

est un $\mathbf K\textrm{-espace}$ vectoriel, appelé espace vectoriel produit des $E_p$ , $1 \le p \le n$ .

La démonstration est semblable à celle du cas $n = 2$ , les propriétés des lois définies sur le produit cartésien découlent des propriétés des lois définies sur chaque espace vectoriel $E_p$ , $1 \le p \le n$ .

L'élément neutre de la loi interne est le $n\textrm{-uplet}$ dont la $p\textrm{-i\`eme}$ composante est l'élément neutre de $E_p$ , soit $(0_{E_1}, 0_{E_2}, ... , 0_{E_n})$ .

Le symétrique de l'élément $(x_1, x_2, ... , x_n)$ de $E_1 \times E_2 \times ... \times E_n$ est $(-x_1, -x_2, ... , -x_n)$ , où $- x_p$ est le symétrique de $x_p$ dans $E_p$ .

Notation

Dans le cas particulier où tous les $E_p$ sont égaux à l'espace vectoriel $E$ , l'espace vectoriel produit est noté : $E^n$ (Exemple : le $\mathbb R\textrm{-espace}$ vectoriel $\mathbb{R}^n$ ).