Espace vectoriel de type fini

Il résulte des trois exemples de la page précédente que $\mathbb R^2$, $P_n(\mathbb R)$ et $\mathbb R$ sont des espaces vectoriels de type fini.

Il est clair, en particulier en considérant les espaces vectoriels $\mathbb R^2$ et $\mathbb R$ qu'il peut exister plusieurs familles finies différentes de générateurs d'un espace vectoriel de type fini.

Cela a été vu dans le cadre du premier exemple, concernant $\mathbb R^2$.

En ce qui concerne $\mathbb R$, tout élément non nul de $\mathbb R$ est un système générateur de $\mathbb R$.

De plus, si $G$ est une famille finie de générateurs d'un espace vectoriel $E$, un élément peut avoir plusieurs décompositions sur cette famille de vecteurs.

Par exemple, considérons $\mathbb R^2$ et les vecteurs $u = (1,0)$, $v = (0,1)$ et $w = (1,1)$. Il résulte de ce qui précède que $\{ u, v , w\}$ est une partie génératrice de $\mathbb R^2$ ( $\{ u, v , w\}$ contient $\{ u, v\}$ qui est une partie génératrice d'après le premier exemple, la proposition 1 permet alors de conclure).

Or, si a est un réel non nul quelconque, pour tout $(x, y)$ de $\mathbb R^2$, il est possible d'écrire les deux décompositions distinctes suivantes :

$(x, y) = x u + yv + 0u$

$(x,y) = (x - a) u + (y - a)v + aw$