Espace vectoriel de type fini

Il résulte des trois exemples de la page précédente que \(\mathbb R^2\), \(P_n(\mathbb R)\) et \(\mathbb R\) sont des espaces vectoriels de type fini.

Il est clair, en particulier en considérant les espaces vectoriels \(\mathbb R^2\) et \(\mathbb R\) qu'il peut exister plusieurs familles finies différentes de générateurs d'un espace vectoriel de type fini.

Cela a été vu dans le cadre du premier exemple, concernant \(\mathbb R^2\).

En ce qui concerne \(\mathbb R\), tout élément non nul de \(\mathbb R\) est un système générateur de \(\mathbb R\).

De plus, si \(G\) est une famille finie de générateurs d'un espace vectoriel \(E\), un élément peut avoir plusieurs décompositions sur cette famille de vecteurs.

Par exemple, considérons \(\mathbb R^2\) et les vecteurs \(u = (1,0)\), \(v = (0,1)\) et \(w = (1,1)\). Il résulte de ce qui précède que \(\{ u, v , w\}\) est une partie génératrice de \(\mathbb R^2\) ( \(\{ u, v , w\}\) contient \(\{ u, v\}\) qui est une partie génératrice d'après le premier exemple, la proposition 1 permet alors de conclure).

Or, si a est un réel non nul quelconque, pour tout \((x, y)\) de \(\mathbb R^2\), il est possible d'écrire les deux décompositions distinctes suivantes :

\((x, y) = x u + yv + 0u\)

\((x,y) = (x - a) u + (y - a)v + aw\)