Calculer le rang d'un système de vecteurs dans R^3 [Espace vectoriel de type fini]

Calculer le rang d'un système de vecteurs dans R^3

Durée : 6 mn

Note maximale : 10

Dans l'espace vectoriel \(\mathbb R^3\), déterminer le rang du système de vecteurs \(\{u_1,u_2,u_3,u_4\}\)

où \(u_1=(1,2,3)\), \(u_2=(2,3,1)\), \(u_3=(4,5,-3)\), \(u_4=(1,1,-2)\)

Le système \(\{u_1,u_2,u_3,u_4\}\) a même rang que le système \(\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\)

\(\textrm{ o\`u }v_1=u_1, v_2=u_2-2u_1=(0,-1,-5),v_3=u_3-4u_1=(0,-3,-15), v_4=u_4-u_1=(0,-1,-5)\)

On constate que \(v_3=3v_2\) et \(v_4=v_2\),

donc le système \(\{v_1,v_2,v_3,v_4\}\) a le rang du système \(\{v_1,v_2\}\) qui est égal à \(2\).

Conclusion : le rang de \(\{u_1,u_2,u_3,u_4\}\) est égal à \(2\).

\(v_3=3v_2\) et \(v_4=v_2\), donc \(u_3-4u_1=3(u_2-2u_1)\) et \(u_4-u_1=u_2-2u_1\);

on a donc les relations de liaison \(2u_1-3u_2+u_3=0\) et \(u_1-u_2+u_4=0\).