Introduction
Une fois la notion d'application linéaire définie, se pose la question de savoir quelles sont les structures des images directes et réciproques des sous-espaces vectoriels par une application linéaire. En particulier, deux ensembles apparaissent naturellement et sont intéressants :
l'ensemble des images de tous les éléments de l'espace de départ,
l'ensemble de tous les éléments dont l'image est le vecteur nul.
Ces deux ensembles permettent en effet de caractériser les applications linéaires injectives et surjectives.
Ce que vous devez savoir avant d'aborder cette ressource :
Indispensable : La théorie des ensembles, en particulier les notions d'application injective, surjective, image directe et image réciproque d'un sous-ensemble par une application, les notions d'espace vectoriel et de sous-espace vectoriel, la définition et les premières propriétés d'une application linéaire.
Utile : les exemples usuels d'espaces vectoriels.
Ce que vous allez apprendre, améliorer ou tester dans cette ressource :
Apprendre les notions d'image et de noyau d'une application linéaire, savoir que ce sont des sous-espaces vectoriels respectivement de l'espace d'arrivée et de l'espace de départ, caractériser une application linéaire injective à l'aide de son noyau.
Ce que vous devez savoir faire à la fin de cette ressource :
Déterminer le noyau et l'image d'une application linéaire, vérifier si une application linéaire est injective ou surjective.
Ce qui vous est proposé :
Les définitions d'image et de noyau d'une application linéaire, une caractérisation des applications linéaires injectives et surjectives, deux questionnaires simples de compréhension immédiate pour vérifier que votre lecture a été attentive.
Temps prévu : 60 mn
Il vous est conseillé de prendre des notes manuscrites pour bien assimiler les notions introduites et de faire vous-mêmes les exemples en guise de premier entraînement. Ce premier travail effectué, il est vivement conseillé de travailler sur les exercices guidés qui font l'objet d'une autre ressource, de manière à tester l'assimilation des notions et à acquérir des modèles reproductibles.