Étude des puissances d'un endomorphisme
Partie
Question
On considère l'espace vectoriel \(E=\mathbb R^5\) muni de sa base canonique \(B=(e_1,e_2,e_3,e_4,e_5)\) et l'endomorphisme \(f\) de \(E\) défini par :
\(f(e_1)=0\)
\(f(e_2)=e_1\)
\(f(e_3)=e_1+e_2\)
\(f(e_4)=2e_1-e_2\)
\(f(e_5)=e_1-e_2+e_3+e_4\)
Montrer que \(f^3=0\).
Déterminer le rang de \(f\) et le rang de \(f^2\).
En déduire la dimension du noyau de \(f\) et de celui de \(f^2\).
Montrer que le sous-espace vectoriel de \(\mathbb R^5\) engendré par \(e_3\) est un sous-espace vectoriel supplémentaire du noyau de \(f^2\).
Aide simple
Pour le \(a.\), on comparera les images des vecteurs de la base \(B\) respectivement par l'endomorphisme nul et par \(f^3\).
Pour le \(b.\), voir la méthodologie.
Pour le \(c.\), il s'agit de démontrer que \(\mathbb R e_3 \oplus \textrm{Ker} f^2 = E\). On aura intérêt à commencer par démontrer que la somme des sous-espaces considérés est directe pour ensuite pouvoir utiliser des arguments de dimension.
Aide méthodologique
La base \(B\) joue un rôle essentiel dans cet exercice.
Tout d'abord, pour démontrer que deux applications linéaires sont égales, il suffira de vérifier que les images des vecteurs d'une base sont égales d'après le théorème suivant :
Une application linéaire d'un espace vectoriel de type fini dans un espace vectoriel quelconque est entièrement déterminée par les images des vecteurs d'une base de l'espace vectoriel de départ.
Quant à la propriété suivante, ce sera la première étape quasiment systématique de la détermination du rang d'une application linéaire.
Soient \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels sur un même corps \(\mathbf K\) et \(g\) une application linéaire de \(E\) dans \(F\). On suppose l'espace vectoriel \(E\) de type fini.
Alors, l'image de \(g\) est un espace vectoriel de type fini.
Plus précisément, si \(n\) est la dimension de \(E\) et \((e_1,e_2,...,e_n)\) une base de \(E\), \(g(e_1),g(e_2),...,g(e_n)\) est une famille de générateurs de \(\textrm{Im}(g)\).
Enfin le théorème du rang est toujours un outil extrêmement fort dans ce genre de problème.
Aide à la lecture
L'endomorphisme \(f\) est entièrement défini par la donnée des vecteurs \(f(e_i)\) où \((e_1,e_2,e_3,e_4,e_5)\) est une base de \(E\).
Cela justifie la forme des hypothèses du texte.
Deux rappels de définitions :
" Le rang d'une application linéaire est la dimension de son image ".
" Deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires si leur somme est directe et égale à l'espace tout entier ".
Solution détaillée
On va comparer les images des vecteurs de la base \(B\) respectivement par l'endomorphisme nul et par \(f^3\).
Comme pour tout \(x\), \(f^3(x)=f(f^2(x))\), on calcule tout d'abord \(f^2\) en utilisant la définition de \(f\). On obtient :
\(f^2(e_1)=f^2(e_2)=0\)
\(f^2(e_3)=e_1\)
\(f^2(e_4)=-e_1\)
\(f^2(e_5)=2e_1\)
Comme \(f(e_1)=0\), il vient alors pour\( f^3\): \(\forall i, 1 \le i \le 5, f^3(e_i)=0\), ce qui achève la démonstration.
On sait que l'image de \(f\) est engendrée par les vecteurs \(f(e_i)\) où \((e_1,e_2,e_3,e_4,e_5)\) est une base de \(E\). Donc, comme \(f(e_1)=0\), l'image de \(f\) est engendrée par les vecteurs \(v_1,v_2,v_3,v_4,\) où
\(\left\{\begin{array}{lcrcrcrcl} v_1&=&e_1&&&&&& \\ v_2&=&e_1&+&e_2&&&& \\ v_3&=&2e_1&-&e_2&&&& \\ v_4&=&e_1&-&e_2&+&e_3&+&e_4 \end{array}\right.\)
Le rang de \(f\) sera donc égal au rang du système de vecteurs \(v_1,v_2,v_3,v_4\).
En utilisant le principe vu dans la ressource consacrée au rang d'une famille finie de vecteurs, on peut affirmer que le rang des vecteurs \(v_1,v_2,v_3,v_4\) est égal au rang des vecteurs \(v_1',v_2',v_3',v_4'\) avec
\(\left\{\begin{array}{ccrcrcrcrcl} v_1&=&v'_1&=&e_1&&&&&& \\ v_2&=&v'_2&=&e_1&+&e_2&&&& \\ v_2+v_3&=&v'_3&=&3e_1&&&&&& \\ v_4&=&v'_4&=&e_1&-&e_2&+&e_3&+&e_4 \end{array}\right.\)
Il est visible que \(v'_3=3v'_1\).
Donc le rang des vecteurs \(v'_1,v'_2,v'_3,v'_4\) est égal au rang des vecteurs \(v'_1,v'_2,v'_4\),
\(\left\{\begin{array}{lcrcrcrcl} v'_1&=&e_1&&&&&& \\ v'_2&=&e_1&+&e_2&&&& \\ v'_4&=&e_1&-&e_2&+&e_3&+&e_4 \end{array}\right.\)
qui est égal à \(3\).
Le rang est donc égal à \(3\).
De la même façon, on sait que l'image de \(f^2\) est engendrée par les vecteurs \(f^2(e_i)\) avec
\(f^2(e_1)=f^2(e_2)=0,f^2(e_3)=e_1,f^2(e_4)=-e_1 \textrm{ et }f^2(e_5)=2e_1\).
Ces expressions prouvent que \(e_1\) engendre l'image de \(f^2\); comme c'est un vecteur non nul, il définit une base de l'image de \(f^2\) qui est donc de rang \(1\).
En appliquant le théorème du rang successivement à \(f\) et à \(f^2\), on a immédiatement
\(\dim \textrm{Ker} f =5-3=2 \textrm{ et } \dim \textrm{Ker} f^2=5-1=4\)
Montrons que la somme de \(\textrm{Ker} f^2\) et du sous-espace engendré par \(e_3\)(noté \(\mathbb R e_3\)) est directe. Pour cela il suffit de démontrer que l'intersection de ces deux sous-espaces est réduite à \(0\).
Soit donc \(x\) un élément de cette intersection. Comme \(x\) est un élément de \(\mathbb R e_3\), il existe un scalaire \(\alpha\) tel que \(x=\alpha e_3\).
Comme \(x\) est un élément de \(\textrm{Ker} f^2\),\( f^2(x)=0\). Or \(f^2(x)=f^2(\alpha e_3)= \alpha f^2(e_3)= \alpha e_1\) donc \(\alpha e_1=0\) et donc \(\alpha=0\) et \(x=0\).
Alors la dimension de \(\mathbb R e_3 \oplus \textrm{Ker} f^2\) est égale à la somme des dimensions de \(\mathbb R e_3\) et de \(\textrm{Ker} f^2\)
soit \(1+4=5=\dim E\).
Donc \(\mathbb R e_3\oplus \textrm{Ker} f^2 = E\)( \(\mathbb R e_3\oplus \textrm{Ker} f^2\) est inclus dans \(E\) et a même dimension que \(E\)).
On a donc l'égalité.
Remarquer qu'il n'a pas été nécessaire de déterminer explicitement \(\textrm{Ker} f^2\) pour aboutir au résultat.