Matrice associée à une forme bilinéaire symétrique sur un espace de type fini
Soit \(E\) un espace vectoriel de type fini, et \(n\) sa dimension. Soit \(B = \big(e_{1},e_{2}, . . . , e_{n}\big)\) une base de \(E\) et \(f\) une forme bilinéaire symétrique sur \(E.\)
Si \(x = x_{1}e_{1} + x_{2}e_{2} + . . . + x_{n}e_{n}\) et \(y = y_{1}e_{1} + y_{2}e_{2} + . . . + y_{n}e_{n}\) sont deux éléments de \(E,\) on a vu que \(f(x,y) = \displaystyle{\sum_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}x_{i}y_{j} f(e_{i},e_{j})}\) et que la matrice associée à \(f\) dans la base \(B\) est la matrice de terme général \(a_{i,j} = f(e_{i},e_{j}).\)
Or, \(f\) est symétrique si et seulement si \(\forall (i,j) , 1 \le i \le n , 1 \le j \le n , f(e_{i}, e_{j}) = f(e_{j},e_{i})\),
propriété qui équivaut à : \(\forall (i,j) , 1\le i \le n, 1 \le j \le n , a_{i,j} = a_{j,i}.\)
D'où la proposition.
Proposition : Caractérisation de la matrice associée dans une base à une forme bilinéaire symétrique
Soit \(E\) un espace de type fini.
Quelle que soit la base choisie, la matrice associée à une forme bilinéaire symétrique est une matrice symétrique.
Si il existe une base telle que la matrice associée à une forme bilinéaire \(f\) dans cette base soit symétrique alors \(f\) est une forme bilinéaire symétrique.
Exemple :
1. Soit \(E = \mathbb{R}^{2}\) et \(f\) la forme bilinéaire symétrique (vérification immédiate) définie pour tout \(x= (x_{1},x_{2})\) et \(y = (y_{1},y_{2})\) de\( \mathbb{R}^{2}\) par \(f(x,y) = x_{1}y_{1} - 2 x_{2}y_{1} - 2x_{1}y_{2} - x_{2}y_{2}\)
Ci-après une version animée de cette étape
Alors la matrice associée à \(f\) dans la base canonique \(B_{c}\) de \(\mathbb{R}^{2}\) est une matrice de type \(2 \times 2\) à coefficients réels égale à : \(\displaystyle{\left(\begin{array}{cc}1 & -2\\-2 & -1\end{array}\right)}.\)
2. Soit \(E = \mathbb{R}^{n}\) et \(f\) la forme bilinéaire symétrique (vérification immédiate) définie pour tout \(x = (x_{1},. . .,x_{n})\) et \(y = (y_{1}, . . . , y_{n})\) de \(\mathbb{R}^{n}\) par \(f(x,y) = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2} + . . . + x_{n}y_{n}\)
Alors la matrice associée à \(f\) dans la base canonique \(B_{c}\) de \(\mathbb{R}^{n}\) est la matrice unité \(I_{n}.\)
Problème réciproque :
Soit \(E\) un espace vectoriel de type finis, \(n\) sa dimension et \(B = (e_{1},e_{2}, . . . , e_{n})\) une base de \(E.\) Il est clair que la donnée d'une matrice symétrique \(A = \big(a_{i,j}\big)_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}\)
à coefficients dans \(\mathbb{K}\) permet de construire une forme bilinéaire symétrique \(f\) sur \(E.\) Il suffit de définir, pour tout \(i\) et \(j\) compris entre 1 et \(n,\) \(f(e_{i},e_{j})\) par \(f(e_{i},e_{j}) = a_{i,j}.\) Elle est bien symétrique puisque pour tout \(i\) et \(j\) compris entre 1 et \(n,\) \(a_{i,j} = a_{j,i}.\)
Cela nous conduit au théorème suivant
Théorème : isomorphisme entre Msym,n(K) et S2(E)
Soit \(E\) un \(\mathbb{K}-\textrm{espace}\) vectoriel de type fini, \(n\) sa dimension. Alors l'espace vectoriel \(S_{2}(E)\) des formes bilinéaires symétriques sur \(E\) est isomorphe à l'espace vectoriel \(M_{sym,n}(\mathbb{K})\) des matrices carrées symétriques d'ordre \(n\) à coefficients dans \(\mathbb{K}.\)
Preuve :
Ce qui précède prouve l'existence d'une bijection entre ces deux espaces. Il est simple de vérifier que c'est bien une application linéaire.
Attention, cet isomorphisme n'est pas canonique puisqu'il dépend de la base choisie sur \(E.\)
Construction de formes bilinéaires symétriques
On a même un résultat plus fort puisque cela donne un procédé de construction de forme bilinéaire symétrique à partir d'une matrice symétrique.
Soit \(A = \big(a_{i,j}\big)_{\substack{{1\le i\le n}\\{1\le j\le n}}}\) une matrice symétrique à coefficients dans \(\mathbb{K}.\)
On peut construire un espace vectoriel \(E,\) une base \(B_{E}\) de \(E\) et une forme bilinéaire symétrique \(f\) telle que \(A\) soit la matrice associée à \(f\) dans \(B_{E}.\)
Pour cela on prend \(E = \mathbb{K}^{n}\), \(B_{E}\) la base canonique de \(\mathbb{K}^{n}\) et on définit \(f\) par \(f(e_{i},e_{j}) = a_{i,j}.\)
Exemple :
Soit la matrice
\(\displaystyle{ A = \left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 2\\0 & 2 & 0\\2 & 0 & 3\end{array}\right)}.\) C'est une matrice symétrique.
Ci-après une version animée de cette étape
Alors l'application \(f\) de \(\mathbb{R}^{3} \times \mathbb{R}^{3}\) dans \(\mathbb{R}\) définie pour tout \(x = (x_{1},x_{2},x_{3})\) et tout \(y = (y_{1},y_{2},y_{3})\) par \(f(x,y) = x_{1}y_{1} + 2x_{1}y_{3} + 2x_{2}y_{2} + 2x_{3}y_{1} + 3x_{3}y_{3}\) est une forme bilinéaire symétrique sur \(\mathbb{R}^{3}\) admettant \(A\) comme matrice associée dans la base canonique.