Etude d'une forme quadratique sur R3 ayant plusieurs sous-espaces totalement isotropes associés

Partie

Question

Soit \(E\) l'espace vectoriel \(\mathbf R^3\) et \(q\) l'application de \(E\) dans \(\mathbf R\) définie par : \(q :x=(x_1,x_2,x_3)\mapsto x_1x_2+x_2x_3\).

  1. Montrer que \(q\) est une forme quadratique et déterminer la matrice associée par rapport à la base canonique \((e_i)_{1\le i\le 3}\).

  2. Déterminer l'orthogonal de \(E\) et en déduire le rang de \(q\).

  3. Trouver l'ensemble \(\mathcal J\) des vecteurs isotropes. Montrer que ce n'est pas un sous-espace vectoriel de \(E\).

    • Pour tout entier \(p,~~0\le p\le 3\), étudier l'existence d'un sous-espace vectoriel totalement isotrope de dimension \(p\).

    • En déduire tous les sous-espaces vectoriels totalement isotropes.

  5. Construire deux sous-espaces vectoriels de \(E\), isotropes, non totalement isotropes et de dimensions distinctes.

Aide simple

2. \(\textrm{rang}(q)=\dim E-\dim E^\perp\).

3. \(x_1x_2+x_2x_3=x_2(x_1+x_3)\)

Trouver deux vecteurs de \(\mathcal J\) dont la somme n'est pas dans \(\mathcal J\).

4.

  • Examiner d'abord les cas \(p=0\) et \(p=3\), puis trouver une droite vectorielle et un plan vectoriel contenus dans \(\mathcal J\).

  • Chercher toutes les droites vectorielles et tous les plans vectoriels contenus dans \(\mathcal J\).

5. Etudier les dimensions possibles.

Vérifier la propriété : tout sous-espace isotrope de dimension 1 est totalement isotrope.

Utiliser la propriété : tout sous-espace, contenant un vecteur non nul du noyau de \(q\), est isotrope.

Aide méthodologique

2. Si \(X\) est la matrice colonne des coordonnées dans la base canonique du vecteur \(x\) de \(E\), alors \(x\in E^\perp\) si et seulement si \(MX=0\).

3. Écrire le réel \(q(x)\) comme un produit de deux facteurs.

4. Utiliser le théorème : Un sous-espace \(F\) est totalement isotrope si et seulement si \(F\neq \{0\}\) et \(F\subset \mathcal J\).

Aide à la lecture

Soit \(E=\mathbf R^3\), \(q\) une forme quadratique sur \(E\), on note \(f\) la forme bilinéaire symétrique associée à \(q\).

2. L'orthogonal de \(E\) pour \(q\), noté \(E^\perp\), est défini par l'égalité :

\(E^\perp=\{x\in E/\forall y\in E,~f(x,y)=0\}\).

3. L'ensemble des vecteurs isotropes, appelé cône des isotropes est défini par l'égalité : \(\mathcal J=\{x\in E ; q(x)=0\}\).

4. Un sous-espace \(F\) est totalement isotrope si \(F\neq \{0\}\)et seulement si \(F\subset F^\perp\).

5. Un sous-espace \(G\) est isotrope si et seulement si \(G\cap G^\perp \neq \{0\}\).

Solution détaillée

  1. Comme \(q(x)\) est une expression polynomiale homogène de degré 2 par rapport aux coordonnées \(x_i\) de \(x\) dans la base canonique, \(q\) est une forme quadratique sur \(E\).

    La matrice associée à \(q\) dans la base canonique est \(M=\left(\begin{array}{ccc}0&\displaystyle{\frac{1}{2}}&0\\\\\displaystyle{\frac{1}{2}}&0&\displaystyle{\frac{1}{2}}\\\\0&\displaystyle{\frac{1}{2}}&0\end{array}\right)\).

  2. Recherche de l'orthogonal \(E^\perp\), c'est-à-dire du noyau de \(q\).

    Soit \(x=(x_1,x_2,x_3)\) alors

    \(\begin{array}{rcl}{x\in E^\perp \Leftrightarrow M\left(\begin{array}{c}x_1\\x_2\\x_3\end{array}\right)=0}&\Leftrightarrow& {\left\{\begin{array}{ccccccc}&&\displaystyle{\frac{1}{2}}x_2&&&=&0\\ \displaystyle{\frac{1}{2}}x_1&&&+&\displaystyle{\frac{1}{2}}x_3&=&0\\ &&\displaystyle{\frac{1}{2}}x_2&&&=&0\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow& {\left\{\begin{array}{r}x_2=0\\ x_1+x_3=0\end{array}\right.}\\\\&\Leftrightarrow& x=(x_1,0,-x_1)\end{array}\),

    donc \(E^\perp=\mathbf R(e_1-e_3)\), droite vectorielle engendrée par le vecteur \(e_1-e_3=(1,0,-1)\).

    De l'égalité \(\textrm{rang}(q)=\dim E-\dim E^\perp\), on déduit \(\textrm{rang}(q)=3-1\) et on conclut \(\textrm{rang}(q)=2\).

    En particulier la forme quadratique \(q\) est dégénérée.

  3. L'ensemble des vecteurs isotropes, appelé cône des isotropes, est défini par l'égalité : \(\mathcal J=\{x\in E ; q(x)=0\}\),

    donc \(x\in \mathcal J\Leftrightarrow x_2(x_1+x_3)=0 \Leftrightarrow x_2=0\) ou \(x_1+x_3=0\).

    Si on note \(P_1=\{x\in E ;x_2=0\}\) le plan vectoriel engendré par \(e_1\) et \(e_3\), \(P_2=\{x\in E ;x_1+x_3=0\}\) celui engendré par \(e_2\) et \(e_1-e_3\), alors le cône des isotropes est la réunion de ces deux plans : \(\mathbf J=P_1\cup P_2\).

    Ce n'est pas un sous-espace vectoriel car cet ensemble n'est pas stable par addition : \(e_1\in \mathcal J, e_2\in \mathcal J, e_1+e_2 \notin \mathcal J\).

    • Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de \(E\), notons \(p=\dim F\).

      La définition de \(F\) totalement isotrope est : \(F\neq \{0\}\) et \(F\subset F^\perp\). Ceci équivaut à \(F\neq \{0\}\) et \(F\subset \mathcal J\).

      Si \(p=0\), \(F=\{0\}\) donc \(F\) n'est pas totalement isotrope.

      Si \(p=3\), \(F=E,~~F^\perp=E^\perp,~~F\nsubset F^\perp\) donc \(F\) n'est pas totalement isotrope.

      Si \(p=1\), \(F\) est une droite vectorielle, par exemple la droite \(\mathbf Re_1\) est incluse dans \(\mathcal J\).

      Si \(p=2\),\(F\) est un plan vectoriel, par exemple le plan \(P_1\) est inclus dans \(\mathcal J\).

      Conclusion : il n'existe pas de sous-espace totalement isotrope de dimension 0 ou 3. Il existe des sous-espaces totalement isotropes de dimensions 1 et 2.

    • Pour \(p=1\) on recherche toutes les droites vectorielles contenues dans \(\mathcal J\), elles sont de la forme \(\mathbf Ru\) où \(u\) est un vecteur non nul de \(\mathcal J\) donc un vecteur non nul de \(P_1\) ou \(P_2\).

      D'où \(F=\mathbf R(\alpha e_1+\beta e_3),~~(\alpha,\beta)\in\mathbf R^2,~~(\alpha,\beta)\neq(0,0)\) ou bien \(F=\mathbf R(\lambda e_2+\mu(e_1-e_3)),~~(\lambda,\mu)\in\mathbf R^2,~~(\lambda,\mu)\neq(0,0)\).

      Pour \(p=2\) on recherche tous les plans vectoriels contenus dans \(\mathcal J\), il y en a deux \(P_1=\mathbf Re_1+\mathbf Re_3\) et \(P_2=\mathbf Re_2+\mathbf R(e_1-e_3)\).

  5. Tout d'abord quelques remarques :

    Un sous-espace isotrope n'est pas réduit à \(\{0\}\).

    Un sous-espace \(G\) isotrope de dimension 1 est totalement isotrope.

    En effet si \(\{0\}\subsetneq G\cap G^\perp \subset G\) et si \(\dim G=1\), alors le sous-espace non nul \(G\cap G^\perp\) coïncide avec \(G\). D'où \(G\subset G^\perp\) et \(G\) est totalement isotrope.

    Autre démarche : le sous-espace \(G\) étant de dimension 1 est engendré par un vecteur non nul \(u\), \(G=\mathbf Ru\); soit \(v\) un vecteur non nul de \(G\cap G^\perp\) alors \(v\) est un vecteur isotrope et tout vecteur de \(G\) est aussi isotrope. D'où \(G\subset \mathcal J\) et \(G\) est totalement isotrope.

    L'espace entier \(E\) vérifie \(E\cap E^\perp =E^\perp\) et \(E^\perp=\mathbf R(e_1-e_3)\neq \{0\}\) donc \(E\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), isotrope, non totalement isotrope, de dimension 3.

    Il reste à trouver un sous-espace isotrope, non totalement isotrope, de dimension 2. Par exemple le plan vectoriel \(P_3=\mathbf R(e_1-e_3)+\mathbf R(e_1+e_2)\) est isotrope car \(e_1-e_3\in P_3\cap E^\perp\) donc \(e_1-e_3\in P_3\cap P_3^\perp\), de plus il est distinct de \(P_1\) et \(P_2\) de donc non totalement isotrope. Ainsi \(P_3\) est un sous-espace vectoriel de \(E\), isotrope, non totalement isotrope, de dimension 2.

    En fait tout plan vectoriel contenant le noyau et distinct de \(P_1\) et de \(P_2\) convient aussi.