Introduction
Ce cours comporte deux grands thèmes : le premier concerne les bases orthogonales ou orthonormales par rapport à une forme quadratique (respectivement par rapport à une forme bilinéaire symétrique).
Le second a pour finalité l'algorithme de Gauss qui permet de décomposer une forme quadratique en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires linéairement indépendantes. Cette partie est achevée par le théorème d'inertie de Sylvester.
Pré-requis indispensables :
Les généralités sur les formes bilinéaires symétriques et les formes quadratiques.
Le calcul matriciel et les formules de changement de base.
Pré-requis utiles :
Quelques notions sur le dual d'un espace vectoriel et la notion de base duale. Cependant toutes les propriétés nécessaires sont rappelées au fur et à mesure des besoins. Un étudiant ne connaissant pas la théorie de la dualité peut donc tout de même étudier cette ressource en particulier l'algorithme de Gauss.
Objectifs :
Décomposer une forme quadratique en carrés et déterminer à partir de là sa signature, son rang. Savoir dire à partir de là si une forme quadratique est ou non dégénérée, et éventuellement utiliser une telle décomposition pour déterminer les vecteurs isotropes.
Caractériser et trouver explicitement une base orthogonale relativement à une forme quadratique ou à une forme bilinéaire symétrique.
Temps de travail prévu : 105 minutes
Comptez environ 90 minutes pour le cours et 15 minutes pour le QCI.
Les étudiants non intéressés par l'aspect théorique de ces notions peuvent aller directement à l'algorithme de Gauss et ses exemples et admettre le théorème de Sylvester qui leur permet d'avoir toutes les applications qui leur seront nécessaires.