Problèmes de synthèse

Comme \(E\) est un espace vectoriel de type fini et \(F\) un sous-espace vectoriel non isotrope pour \(f\), on a l'égalité :

\(E=F\oplus F^\bot\).

On cherche un endomorphisme \(s\) de \(E\) vérifiant les conditions :

\(\left\{\begin{array}{cc}\forall x\in F,&s(x)=x\\\forall x\in F^\bot,&s(x)=-x\end{array}\right.\)

Soit \(B_1=(u_1,u_2,\ldots,u_p)\) une base de \(F\) et \(B_2=(v_1,v_2,\ldots,v_q)\) une base de \(F^\bot\).

• L'endomorphisme \(s\) cherché doit donc vérifier :

  \(\left\{\begin{array}{cc}s(u_i)=u_i,&\forall i, 1\leq i\leq p,\\s(v_j)=-v_j,&\forall j, 1\leq j\leq q.\end{array}\right.\) (*)

  Comme \((u_1,u_2,\ldots,u_p,v_1,v_2,\ldots,v_p)\) est une base de \(E\), il existe un unique endomorphisme \(s\) de \(E\) vérifiant les conditions \((*)\).

  Donc si \(s\) existe, il est unique.

• Considérons l'endomorphisme \(s\) de \(E\) tel que :

  \(\left\{\begin{array}{cc}s(u_i)=u_i,&\forall i, 1\leq i\leq p,\\s(v_j)=-v_j,&\forall j, 1\leq j\leq q.\end{array}\right.\)

  (Un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie est totalement déterminé par la donnée des images d'une base.)

  Soit \(x\) un élément de \(E\).

  Si \(x\) appartient à \(F\), il existe \((\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_p)\in K^p\) tel que \(x=\displaystyle\sum_{i=1}^{i=p}\alpha_iu_i\), donc : \(s(x)=x\).

  Si \(x\) appartient à \(F^\bot\), il existe \((\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_q)\in K^q\) tel que \(x=\displaystyle{\sum_{i=1}^{i=q}\beta_iv_i}\), donc : \(s(x)=-x\)

  Cet endomorphisme s de E répond donc aux conditions imposées.

Remarque : tout vecteur \(x\in E\) s'écrit comme la somme d'un vecteur \(x_1 \in F\) et d'un vecteur \(x_2\in F^\bot\): \(x=x_1+x_2\). Donc \(s(x)=x_1-x_2\).

Comme tout vecteur \(x\) de \(E\) s'écrit \(x=x_1+x_2\), avec \(x_1\in F\) et \(x_2\in F^\bot\), et comme on a \(s(x)=x_1-x_2\), on en déduit \((s\circ s)(x)=s(x_1-x_2)=x_1+x_2=x\), donc :

\(s\circ s=Id_E\).

Par conséquent l'endomorphisme \(s\) de \(E\) admet une application inverse et cette application inverse est \(s\) lui même (une telle application est dite involutive).

Ceci prouve, en particulier, que \(s\) est bijectif.

Donc l'endomorphisme \(s\) de \(E\) est un automorphisme de \(E\) (pour montrer que \(s\) était un automorphisme, on pouvait aussi remarquer que l'image par \(s\) d'une base de \(E\) est une base de \(E\)).

On calcule pour tout couple \((x,y)\) de vecteurs de \(E\) la quantité \(f(s(x),y)\):

pour cela, on utilise les décompositions \(x=x_1+x_2\), avec \(x_1\in F\) et \(x_2\in F^\bot\), et \(y=y_1+y_2\), avec \(y_1 \in F\) et \(y_2\in F^\bot\).

Donc \(f(s(x),y)=f(x_1-x_2,y_1+y_2)\).

En utilisant la bilinéarité de \(f\), il vient \(f(s(x),y)=f(x_1,y_1)+f(x_1,y_2)-f(x_2,y_1)-f(x_2,y_2)\)

Or \(x_1\) et \(y_2\) sont orthogonaux pour \(f\), de même que \(x_2\) et \(y_1\), donc :

\(f(s(x),y)=f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)\).

Pour les mêmes raisons, on trouve aussi :

\(f(x,s(y))=f(x_1+x_2,y_1-y_2)=f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)\).

D'où :

\(\forall (x,y)\in E^2\), \(f(s(x),y)=f(x,s(y))\).

Pour le calcul de \(f(s(x),s(y))\), en utilisant la propriété précédente, on obtient :

\(f(s(x),s(y))=f(x,s(s(y)))\).

Or \(s\circ s= Id_E\), donc \(f(s(x),s(y))=f(x,y)\). D'où :

\(\forall(x,y)\in E^2\), \(f(s(x),s(y))=f(x,y)\).