Courbes et surfaces

Vous avez déjà rencontré deux écritures possibles pour une droite :

• par une équation implicite \(ux + vy = h\), que l'on peut écrire suivant les cas au moins sous l'une des deux formes explicites :

  \(y = ax + b\) ou \(x = cy + d\),

  où l'une des coordonnées est exprimée en fonction de l'autre. (Une seule de ces formes est possible pour les droites parallèles à un des axes : \(y = b\) pour une parallèle à \(Ox\),

  \(x = d\) pour une parallèle à \(Oy\). Pour les autres droites, les deux formes sont possibles, et on les obtient facilement à partir de la forme implicite).

• par une représentation paramétrique \(x = a + ut, y = b + vt\) où le point \(A\) de coordonnées \((a, b)\) et le vecteur \(V\) de composantes \((u, v)\) sont donnés et où le paramètre \(t\) est un nombre réel quelconque.

• Courbe\( y = f(x)\)

  L'idée essentielle dans ce mode de représentation est qu'à une valeur de \(x\), on associe un unique point de la courbe, ou encore qu'une parallèle à \(Oy\) coupe la courbe en un point au plus, pour les valeurs de \(x\) pour lesquelles l'expression \(f(x)\) a un sens. Vous avez ainsi rencontré la parabole \(y = x^2\) d'axe \(Oy\) dans le cours de vos études. Vous avez aussi rencontré l'hyperbole équilatère \(y = 1/x\) où les points sont définis pour \(x\neq 0\).

• Courbe\( x = g(y)\)

  En échangeant les rôles de \(x\) et \(y\), on obtient une courbe telle qu'une parallèle à \(Ox\) coupe la courbe en au plus un point : ainsi l'équation \(x = y^2\) décrit une parabole d'axe \(Ox\).

En généralisant ce que nous avons fait pour les droites, nous nous donnons les deux coordonnées \(x\) et \(y\) d'un point de la courbe comme fonction d'un paramètre\( t\).

• Cercle

  Par exemple le cercle de centre \(O\) et de rayon 1 peut être décrit par la représentation paramétrique

  \(x = cost\), \(y = sint\)

  On retrouve bien de cette façon tous les points tels que \(OM = 1\) et eux seuls.

• Ellipse

  L'ellipse de demi-axe a sur \(Ox\) et de demi-axe \(b\) sur \(Oy\) est définie par la représentation paramétrique suivante :

  \(x = a~ cost\), \(y = b~ sint\)

Il s'agit de représenter les points d'une courbe par une relation entre x et y du type

f(x, y) = 0. Vous avez déjà rencontré de telles représentations.

• Cercle

  Le cercle de centre O et de rayon 1 a pour équation implicite \(x ^2 + y^ 2 = 1\). Le cercle de centre\( A\) de coordonnées \((a, b)\) et de rayon\( r\) a pour équation implicite

  \((x - a)^ 2 + (y - b)^ 2 = r^ 2\)

• Ellipse

  L'ellipse \(x^ 2/a^ 2 + y^2/b^2 = 1\) est la courbe dont nous avons donné précédemment la représentation paramétrique \(x = a ~cost\), \(y = b ~sint\).

• Hyperbole

  L'hyperbole d'équation implicite\( x ^2/a^ 2 - y^ 2/ b^ 2 = 1\) est composée de deux branches d'asymptotes de pentes \(b/a\) et \(- b/a\).

  Les deux derniers exemples montrent des courbes dont on ne peut obtenir une représentation explicite sans les partager en deux branches.