Les espaces vectoriels
Définition :
L'ensemble \(\mathbf{R^n}\) est formé de tous les n - uplets \((x_1, x_2, \ldots, x_n)\).
Nous noterons les n - uplets \(X = (x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})\) par des lettres majuscules et les composantes par des minuscules.
Deux n - uplets \(X = (x_{1}, x_{2},x_{3}, \ldots, x_{n})\) et \(X = (x'_{1}, x'_{2},x'_{3}, \ldots, x'_{n})\), sont égaux si ils ont les mêmes composantes :
\((x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) = (x'_{1}, x'_{2}, \ldots, x'_{n}) \Leftrightarrow \forall i,1 \leqslant i \leqslant n, x_{i} = x'_{i}\)
Le n - uplet \((0, 0, ..., 0)\) est noté 0, comme pour les nombres. Le sens est clair par le contexte.
On utilise sur \(\mathbf{R^n}\) les deux opérations qui généralisent celles connues sur les vecteurs de l'espace :
l'addition
\((x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}) + (y_{1}, y_{2}, \ldots, y_{n}) = (x_{1} + y_{1}, x_{2}+ y_{2}, \ldots, x_{n}+ y_{n})\)
la multiplication par un scalaire
\(\lambda(x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n})= (\lambda x_{1}, \lambda x_{2}, \ldots, \lambda x_{n})\)
Propriété : Addition des n - uplets
L'addition vérifie les propriétés suivantes :
l'addition est associative :
\(\forall~X \in \mathbf{R^n}, \forall~Y \in \mathbf{R^n},\forall~Z \in \mathbf{R^n}~~(X + Y) + Z = X + (Y + Z)\)
0 est un élément neutre :
\(\forall~X \in \mathbf{R^n},~~0+X = X + 0 = X\)
tout élément \(X\) a un opposé noté\( - X\) :
\(X + (- X) = (- X) + X = 0\)
l'addition est commutative :
\(\forall~X \in \mathbf{R^n}, \forall~Y \in \mathbf{R^n} ,~~X + Y = Y + X\)
Remarque :
On peut vérifier composante par composante, comme pour les vecteurs de \(\mathbf{R^3}\).
Propriété : Multiplication par les nombres
La multiplication des n - uplets par les nombres vérifie les propriétés suivantes :
\(\forall~\lambda \in \mathbf{R}, \forall~\mu \in \mathbf{R},\forall~X \in \mathbf{R^n},~~(\lambda + \mu)X = \lambda X +\mu X,\)
\(\forall~\lambda \in \mathbf{R},\forall~X \in \mathbf{R^n},\forall~Y \in \mathbf{R^n},~~\lambda(X+Y)=\lambda X +\lambda Y,\)
\(\forall~\lambda \in \mathbf{R}, \forall~\mu \in \mathbf{R},\forall~X \in \mathbf{R^n},~~\lambda( \mu X)= (\lambda\mu)X,\)
\(\forall~X \in \mathbf{R^n} , 1X=X.\)
Les nombres sont aussi appelés des scalaires. Les éléments de \(\mathbf{R^n}\) sont appelés vecteurs de \(\mathbf{R^n}\), par analogie avec les vecteurs de \(\mathbf{R^3}\). On dit que l'ensemble \(\mathbf{R^n}\) de n - uplets est un espace vectoriel. Les calculs sur les éléments de \(\mathbf{R^n}\) sont analogues à ceux sur les vecteurs. D'une façon générale, tout ensemble pourvu de deux opérations vérifiant les propriétés énoncées précédemment sera aussi appelé espace vectoriel sur . Les calculs sur les éléments de \(\mathbf{R^n}\) sont analogues à ceux sur les vecteurs.
On sait que \(F\) contient au moins un vecteur \(X\), en utilisant la première relation et en faisant \(\mu = 0\), on obtient \((\lambda + 0)X = \lamdaX +0X\) et on deduit que \(0X\) est le vecteur nul.
Si dans la même relation on fait \(\lambda = 1\) et \(\mu = - 1\) on obtient \(1X + (- 1) X = 0X = 0\), ce qui montre que \((- 1) X\) est l'opposé du vecteur \(X\).