Intégrale de Riemann

1. Il s'agit d'un exercice classique sur les sommes de Riemann : le terme général de la suite se présente comme une somme dont le nombre de termes augmente indéfiniment avec \(n\).

On met \(1/n\) en facteur dans \(u_n\) ,on obtient :

\(u_n=\frac{1}{n}\displaystyle{\sum_{k-1}^{n}\frac{1+\frac{k}{n}}{1+\frac{k^2}{n^2}}}\)

Sous cette forme \(u_n\) apparaît comme la somme de Riemann correspondant à la subdivision régulière d'ordre \(n\) de la fonction \(\displaystyle{x\to\frac{1+x}{1+x^2}}\) sur \([0,1]\).

On a donc : \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}u_n=\int_0^1\frac{1+t}{1+t^2}dt=\frac{\pi}{4}+\frac{\ln2}{2}}\).

2. Comme dans l'exemple précédent on met \(1/n\) en facteur dans \(v_n\) ,on obtient :

\(v_n=\displaystyle{\frac{1}{n}\sum_{k-1}^{n}\frac{k}{n}\sin(\frac{k\pi}{n})}\)

Sous cette forme \(v_n\) apparaît comme la somme de Riemann correspondant à la subdivision régulière d'ordre \(n\) de la fonction \(\displaystyle{x\to x\sin\pi x}\) sur \([0,1]\).

On a donc : \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}v_n=\int_0^1t\sin\pi tdt=[-\frac{t}{\pi}\cos\pi t]_0^1+\frac{1}{\pi}\int_0^1\cos\pi tdt=\frac{1}{\pi}}\)

3.En étudiant ln \(w_n\) on obtient :

\(\displaystyle{\ln w_n=-\ln(n)+\frac{1}{n}\sum_{k-1}^{n}\ln(n+k)=\frac{1}{n}(\sum_{n}^{k-1}(\ln(n+k)-\ln n))=\frac{1}{n}\sum_{k-1}^{n}\ln(1+\frac{k}{n})}\)

\(\ln(w_n)\) se présente comme la somme de Riemann pour la subdivision d'ordre \(n\) relative à la fonction

\(x\to\ln(1+x)\textrm{ sur }[0,1]\); d'où \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\ln w_n=\int_0^1\ln(1+t)dt=2\ln2-1}\), et

\(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}w_n=\frac{4}{\textrm{e}}}\)

4. Grâce à la formule de Taylor-Lagrange on écrit \(\textrm{e}^x=1+x+\frac{x^2}{2}\textrm{e}^{\theta x}\textrm{ avec }0<\theta<1\)

, d'où pour \(x = 1 / (k+n)\)

\(\textrm{e}^{1/{k+n}}=1+\frac{1}{k+n}+\frac{\textrm{e}^{\theta/{k+n}}}{2(k+n)^2}\) ,

on en déduit :

\(|\textrm{e}^{1/{k+n}}-1-\frac{1}{k+n}|\leq\frac{\textrm{e}}{2(k+n)^2}\leq\frac{2}{n^2}\)

D'où

\(\bigg\arrowvert t_n-\displaystyle{\sum_{k-1}^{n}\frac{1}{k+n}\bigg\arrowvert =\bigg\arrowvert\sum_{k-1}^{n}(\textrm{e}^{\tfrac{1}{n+1}}-1\frac{1}{k+n})\bigg\arrowvert\leq\sum_{n}^{k-1}\bigg\arrowvert\textrm{e}^{\tfrac{1}{n+1}}-1\frac{1}{k+n}\bigg\arrowvert\leq n\frac{\textrm{e}}{2n^2}=\frac{\textrm{e}}{2N}}\) qui tend vers \(0\) quand \(n\to+\infty\).

On a donc, comme\(\displaystyle{\sum_{k-1}^{n}\frac{1}{k+n}=\frac{1}{n}\sum_{k-1}^{n}\frac{1}{1+\frac{k}{n}}}\)

  et \(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}\sum_{k-1}^{n}\frac{1}{k+n}=\int_0^1\frac{dt}{1+t}=\ln2}\),

\(\displaystyle{\lim_{n\to+\infty}t_n=\ln2}\).