Problème de synthèse
Partie
Irrationalité de \(\pi\) (difficile)
On désigne par \(p\) et \(q\) deux entiers strictement positifs et \(P_n\) le polynôme \(\displaystyle{\frac{X^n(qX-p)^n}{n!}}\).
Question
1. Montrer que le polynôme \(P_n\) et toutes ses dérivées prennent des valeurs entières pour \(x = 0\) et \(x = p/q\).
Aide simple
Coup de pouce
1. En \(0\) on explicitera \(P_n\) sous la forme \(\displaystyle{\sum_{k=0}^{2n}a_kX^k}\)et on comparera avec la formule de Taylor
\(\displaystyle{\sum_{k=0}^{2n}\frac{P_n^{(h)}(0)X^h}{h !}}\)
En \(p/q\) on posera
\(Y=X-\frac{p}{q}\)
Solution détaillée
1. On développe le polynôme\(P_n\) en utilisant d'une part la formule du binôme et d'autre part la formule de Taylor en \(0\).
Le développement du binôme conduit à l'expression de \(P_n\) : \(\displaystyle{\sum_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}\frac{C_n^{k}q^kp^{n-k}X^{n+k}}{n !}}\)
et celui de Taylor en \(0\) : \(\displaystyle{\sum_{k=0}^{2n}\frac{P_n^{(h)}(0)X^h}{h !}}\)
Les dérivées \(P_n^{(h)}(0)\) sont nulles pour \(h< n\) et bien évidemment pour \(h>2n\) ; l'identification des termes en \(X^{n+k}\) conduit aux égalités :
\(P_n^{(n+k)}(0)=(-1)^{n-k}\frac{C_n^kq^kp^{n-k}(n+k) !}{n !}\)
or \(\frac{(n+k) !}{n !}\) est entier et tous les autres termes du produit le sont également, le nombre
\(P_n^{(h)}(0)\) est donc entier.
Pour \(x = p/q\), posons \(Y=X-\frac{p}{q}\), le polynôme \(Q_n\) ainsi défini s'écrit : \(\frac{Y^n(p+qY)^n}{n!}\)
On montre que les dérivées de \(Q_n\) en \(0\) sont des entiers comme pour \(P_n\), or ce sont les dérivées de \(P_n\) en \(p/q\), car le développement de Taylor de \(P_n\) en \(p/q\), est celui de \(Q_n\) en \(0\). Les dérivées
\(P_n^{(h)}(\frac{p}{q})\) sont des entiers.
Question
2. Montrer que la suite de terme général \(\displaystyle{I_n=\int_0^{\pi}P_n(t)\sin tdt}\) a pour limite \(0\).
Solution détaillée
2. On pose \(M=Max_{x\in[0,\pi]} \vert x(qx-p) \vert\), on a donc
\(\forall x\in[0,\pi]|,~~P_n(x)\sin x|\leq\frac{M^n}{n!}\)
L'intégrale \(I_n\) est donc majorée :
\(|I_n|\leq\displaystyle{\int_0^{\pi}|P(t)\sin t|dt\leq\pi\frac{M^n}{n!}}\)
Or la suite \((\frac{M^n}{n!})\) a pour limite \(0\) (il s'agit d'un résultat classique qu'on retrouve facilement en remarquant que, le rapport de deux termes consécutifs tendant vers \(0\), la suite est donc majorée à partir d'un certain rang par une suite géométrique de raison strictement inférieure à \(1\)). La suite (\(I_n\)) a pour limite \(0\).
Question
3. Montrer que si \(\pi\) était rationnel et si on prenait pour \(p\) et \(q\) des entiers tels que \(\pi=p/q\). le nombre \(I_n\) serait un entier non nul. (on pourra procéder à \(2n+1\) intégrations par parties successives dans \(I_n\)).
Aide simple
Coup de pouce
3. On montrera, pour des fonctions \(f\) et \(g\) de classe \(C^{2n+1}\) sur l'intervalle \([a,b]\), la formule suivante obtenue après \(2n+1\) intégrations par parties :
\(\displaystyle{\int_a^bf(t)g^{(2n+1)}(t)dt=[f(t)g^{(2n)}(t)-f'(t)g^{(2n-1)}(t)+....(-1)^nf^{(2n)}(t)g(t)]_a^b+(-1)^{2n+1}\int_a^bf^{(2n+1)}(t)g(t)dt}\)
et on l'appliquera en prenant pour \(f\) la fonction polynomiale \(P_n\) et pour \(g\) la fonction sinus.
Solution détaillée
3. Si \(f\) et \(g\) sont deux fonctions de classe \(C^{2n+1}\) sur l'intervalle \([a,b]\), on obtient, en intégrant \(2n+1\) fois par parties :
\(\displaystyle{\int_a^bf(t)g^{(2n+1)}(t)dt=[f(t)g^{(2n)}(t)-f'(t)g^{(2n-1)}(t)+....(-1)^nf^{(2n)}(t)g(t)]_a^b+(-1)^{2n+1}\int_a^bf^{(2n+1)}(t)g(t)dt}\)
On prend pour \(f\) la fonction polynomiale \(P_n\) et pour \(g\) la fonction sinus, la dérivée d'ordre \(2n+1\) de \(P_n\) est nulle et les fonctions dérivées de \(g\) sont au signe près les fonctions sinus ou cosinus.
Avec \(a = 0\) et \(b= p/q\) on obtient :
\(I_n=\displaystyle{\int_0^{p/q}P_n(t)\sin tdt=[-P_n(t)\cos t+P'_n(t)\sin t.....(-1)^{n+1}P_n^{(2n)}(t)\cos t]_0^{p/q}}\)
Si \(\pi\)est rationnel et égal à \(p/q\) , pour \(0\) et\(\pi\) les sinus et cosinus sont égaux à \(0\) ou\(\pm1\), et les dérivées de la fonction prennent des valeurs entières, l'intégrale \(I_n\) est donc un entier.
Or \(I_n\) est l'intégrale d'une fonction continue et positive sur\([0,\pi]\) , elle est donc non nulle . Le réel \(I_n\) étant un entier non nul la suite (\(I_n\)) ne peut avoir \(0\) comme limite, il y a une contradiction et\(\pi\) n'est pas rationnel.