Changement de variable - Cas Général

Théorème

Soit \(\phi\) une fonction de classe \(C^1\) sur un intervalle \([a , \beta]\), on pose \(a=\phi(\alpha)\textrm{ et }b=\phi(\beta)\) ; alors si \(f\) est une fonction continue sur un intervalle \(J\) contenant l'image \(\phi([\alpha ,\beta])\) on a :

\(\displaystyle{\int_a^bf(u)du=\int_{\alpha}^{\beta}(f\circ\phi)(t)\phi'(t)dt}\).

Remarquepréliminaire :

La fonction \(\phi\) étant continue, l'image de\([\alpha , \beta]\) par \(\phi\) est un intervalle

\(\phi([\alpha,\beta])=[m,M]\)\(m=\displaystyle{\inf_{x\in[\alpha,\beta]}f(x)}\) et \(M=\displaystyle{\sup_{x\in[\alpha,\beta]}f(x)}\)

Attention

en général \([m,M]\neq[\phi(\alpha),\phi(\beta)]\) . Ainsi avec \(\phi=\sin, \alpha=0, \beta=2\pi\)on a :

\(\displaystyle{\phi([\alpha,\beta])=[-1,1]\textrm{ et }[\phi(\alpha),\phi(\beta)]=\{0\}}\).

Preuve

On considère les fonctions \(F\) et \(G\) définies par

\(\displaystyle{F(x)=\int_\alpha^x=(f\circ\phi)(t)\phi'(t)dt\textrm{ et }G(x)=\int_{\phi(\alpha)}^{\phi(x)}f(u)du}\)

On a :

\(\displaystyle{\forall x\in[\alpha,\beta]\quad F'(x)=(f\circ\phi)(x)\phi'(x)\textrm{ soit }F'=f\circ\phi\phi'}\)

On définit alors \(H\) sur \(\phi ([\alpha, \beta])\) par :

\(\displaystyle{H(s)=\int_{\phi(\alpha)}^sf(u)du\textrm{ alors }G=H\circ\phi}\) et \(\displaystyle{\forall s\in\phi([\alpha,\beta]), H'(s)=f(s)}\). On a donc :

\(\displaystyle{G'=H'\circ\phi,\phi'=f\circ\phi,\phi'=F'}\)

D'où \(F - G\) est constante ; or\(F(\alpha)-G(\alpha)=0\textrm{ donc }F=G\).

Définition

L'application \(\varphi\) qui transforme l'intégrale de \(f\) sur \([a , b]\) en l'intégrale d'une autre fonction sur un autre intervalle définit un changement de variable.

Remarque

Pour obtenir l'égalité :\(\displaystyle{\int_a^bf(u)du=\int_{\alpha}^{\beta}(f\circ\phi)(t)\phi'(t)dt}\) , on voit que dans le premier membre il suffit de

  • poser \(u = \varphi(t)\), alors \(du\) , appelé élément différentiel, devient \(du=\phi'(t)dt\),

  • remplacer les bornes \(\displaystyle{a=\varphi(\alpha)\textrm{ et }b=\varphi(\beta)}\) par \(\alpha\) et \(\beta\) .