R est une fonction rationnelle non polynomiale [Calcul pratique d'intégrales]

R est une fonction rationnelle non polynomiale

On considère une intégrale du type $\displaystyle{\int_a^bR(\cos t,\sin t)dt}$ où la fonction est quotient de deux fonctions polynomiales en sinus et cosinus.

L'ensemble des règles suivantes, dites parfois règles de Bioche, est très utile : il apparaît comme une série de recettes, qu'on admettra, et qui permettent, en théorie du moins, de résoudre tous les problèmes entrant dans ce cadre. Ici encore une bonne connaissance des formules trigonométriques permet d'alléger parfois la recette initiale. On note

On note $\displaystyle{\omega(t)=R(t)dt}$ l'élément différentiel.

Règle :

On étudie si $\omega$ est invariant quand on remplace $\displaystyle{t\textrm { par }-t,\pi-t,\textrm{ ou } \pi+t}$ .

Si $\omega$ est invariant quand on remplace $t$ par $-t$ c'est-à-dire si $\omega(-t)=\omega(t)$ , alors $\omega$ s'écrit
$\omega(t)=S(\cos t)\sin tdt$
où $S$ est une fonction rationnelle en $\cos t$ ; on fait alors le changement de variable $u=\cos t$ .
Si $\omega$ est invariant quand on remplace $t$ par $\pi - t$ c'est-à-dire si $\omega(\pi-t)=\omega(t)$ ,alors $\omega$ s'écrit :
$\omega(t)=T(\sin t)\cos tdt$
où $T$ est une fonction rationnelle en $\sin t$ ; on fait le changement de variable $u=\sin t$ .
Si $\omega$ est invariant quand on remplace $t\textrm{ par }\pi+t$ c'est-à-dire si $\omega(\pi+t)=\omega(t)$ , alors $\omega$ s'écrit :
$\omega(t)=U(\tan t)(1+\tan^2t)dt$
où $U$ est une fonction rationnelle en $\tan t$ ; on fait le changement de variable $u=\tan t$ .
Et si tous les tests sont négatifs on pose $u=\tan(\frac{t}{2})$ , mais attention on ne doit pas sortir des intervalles $](2k-1)\pi,(2k+1)\pi[,(k\in\mathbb Z)$ . On a une expression de la primitive sur chaque intervalle.