Exemples de calcul d'intégrales impropres

L’intégrale est convergente.

La fonction $x\mapsto x^{\textrm{-0,999}}e^{-x}$ est positive, elle est continue donc localement intégrable sur l’intervalle $]0,+\infty[$.

[0.5 point]

• La fonction n’est pas bornée au voisinage de $0$ mais on a l’équivalence $\displaystyle{x^{\textrm{-0,999}}e^{-x}\sim\frac{1}{x^{\textrm{0,999}}}}$. Par comparaison avec les intégrales de Riemann on en déduit la convergence pour la borne $0$.

  [1 point]

• On a $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}xe^{-x}=0}$. Donc il existe $B$ tel que, pour tout $x>B$, on ait $xe^{-x}<1$, d'où $\displaystyle{0<x^{-\textrm{0,999}}e^{-x}<\frac{1}{x^{\textrm{1,999}}}}$. Par comparaison avec les intégrales de Riemann, on en déduit la convergence pour la borne $+\infty$.

  [1 point]

L’intégrale $\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}t^{-\textrm{0,999}}e^{-t}dt}$ est donc convergente.

[0.5 point]