Exercice 1
Durée : 3 mn
Note maximale : 3
Question
Étudier la nature de l'intégrale impropre \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}t^{1000}e^{\tfrac{t}{1000}}dt}\).
Majoration de la fonction par une fonction dont l’intégrale est convergente.
Solution
L’intégrale est convergente.
La fonction \(\displaystyle{x\mapsto x^{1000}e^{-\tfrac{x}{1000}}}\) est continue sur l’intervalle \([0,+\infty[\), elle est donc localement intégrable sur cet intervalle.
[0.5 point]
Elle est positive donc on peut utiliser le critère de comparaison.
[0.5 point]
On a : \(\displaystyle{\lim_{x\rightarrow+\infty}x^{1002}e^{-\tfrac{x}{1000}}=0}\).
[0.5 point]
Donc il existe \(B\) tel que, pour tout \(x>B\), on ait, par exemple, \(\displaystyle{x^{1002}e^{-\tfrac{x}{1000}}<1}\), d’où \(\displaystyle{x^{1000}e^{-\tfrac{x}{1000}}<\frac{1}{x^2}}\).
[1 point]
L’intégrale \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}t^{1000}e^{-\tfrac{t}{1000}}dt}\) est donc convergente.
[0.5 point]
Remarque :
Cette intégrale est de la forme \(\displaystyle{\int_{0}^{+\infty}t^re^{st}dt}\) étudiée dans le cours.