Test 1
Durée : 3 mn
Note maximale : 3
Question
On désigne par \(m\) et \(p\) deux nombres réels et on considère l’intégrale \(\displaystyle{I(m,p)=\int_{0}^{1}\frac{t^m}{1+t^p}dt}\).
Trouver les conditions que doivent vérifier les réels \(m\) et \(p\) pour que l’intégrale \(I(m,p)\) soit convergente.
Solution
La fonction \(\displaystyle{f :x\mapsto\frac{x^m}{1+x^p}}\) est toujours continue donc localement intégrable sur l’intervalle \(]0,1]\).
[0.5 point]
On doit distinguer dans l’étude de l’intégrale les cas \(p\ge0\) et \(p<0\).
Étude au voisinage de \(0\).
Si \(p\ge0,~f(x)\sim x^m\), l’intégrale converge si et seulement si \(m>-1\). On remarque que dans le cas \(m\ge0\) la fonction \(f\) est continue en \(0\) et il n’y a pas de problème de convergence.
[1 point]
Si \(p<0,~f(x)\sim x^{m-p}\), et l’intégrale est convergente si et seulement si \(m-p>-1\). Dans le cas \(m-p>0\), la fonction \(f\) est prolongeable par continuité en \(0\) et il n’y a pas de problème de convergence.
[1.5 point]