Autres opérations II
Partie
Question
Soient \(A,\) \(B,\) \(C\) trois sous-ensembles de \(E.\)
On note \(A \backslash B\) la différence[1] des deux ensembles .
Montrez que :
\(A \backslash (B \cup C) = (A \backslash B) \cap (A \backslash C) .\)
Solution détaillée
\(A \backslash (B \cup C) = A \cap C_E (B \cup C)\)
En utilisant le complémentaire d'une réunion on obtient :
\(A \cap (C_E B \cap C_E C) = A \cap C_E B \cap C_E C\)
puisque l'intersection est associative.
\((A \backslash B) \cap (A \backslash C) = (A \cap C_E B) \cap (A \cap C_E C)\)
L'\cap étant associative, on a :
\((A \backslash B) \cap (A \backslash C) = A \cap C_E B \cap A \cap C_E C\)
\((A \backslash B) \cap (A \backslash C) = A \cap C_E B \cap C_E C\)
Donc :
\(A \backslash (B \cup C) = (A \backslash B) \cap (A \backslash C)\)
Question
Soient \(A,\) \(B,\) \(C\) trois sous-ensembles de \(E.\)
On note \(A \backslash B\) la différence de \(A\) et de \(B.\)
Montrez que :
\(A \backslash (B \cap C) = (A \backslash B) \cup (A \backslash C) .\)
Solution détaillée
On utilise la relation : \(A \backslash B = A \cap C_E B\)
\(A \backslash (B \cap C) = A \cap C_E (B \cap C)\)
\(C_E (B \cap C) = C_E B \cup C_E C\)
\(A \cap (C_E B \cup C_E C) = (A \cap C_E B) \cup (A \cap C_E C)\)
Donc : \(A \backslash (B \cap C) = (A \backslash B) \cup (A \backslash C)\)
Question
Soient \(A,\) \(B,\) \(C\) trois sous-ensembles de \(E.\)
On note \(A \backslash B\) la différence de \(A\) et de \(B.\)
Montrez que :
\(A \cap (B \backslash C) = (A \cap B) \cap (A \backslash C) .\)
Solution détaillée
On utilise la définition de la différence de deux ensembles :
\(A \cap (B \backslash C) = A \cap (B \cap C_E C)\)
\(A \cap (B \backslash C) = (A \cap B) \cap C_E C\)
\((A \cap B) \cap (A \backslash C) = (A \cap B) \cap (A \cap C_E C)\)
\((A \cap B) \cap (A \backslash C) = A \cap B \cap C_E C\)
Donc : \(A \cap (B \backslash C) = (A \cap B) \cap (A \backslash C)\)
Question
Soient \(A\) et \(B\) deux sous-ensembles de \(E.\)
On note \(A \Delta B\) la différence symétrique[2] de \(A\) et de \(B.\)
Montrez que :
\(C_E A \Delta B = (A \cap B) \cup C_E (A \cup B) .\)
Solution détaillée
\(A \Delta B = (A \cap C_E B) \cup (B \cap C_E A)\)
\(C_E A \Delta B = C_E [(A \cap C_E B) \cup (B \cap C_E A)]\)
\(C_E A \Delta B = C_E (A \cap C_E B) \cap C_E (B \cap C_E A)\)
\(C_E A \Delta B = [(C_E A) \cup B] \cap [(C_E B) \cup A]\)
\(C_E A \Delta B = \color{green}\{[(C_E A) \cup B] \cap C_E B\}\color{black} \cup\color{red} \{[(C_E A) \cup B] \cap A\}\)
\(C_E A \Delta B = \color{green}(C_E A \cap C_E B) \cup (B \cap C_E B)\color{black} \cup \color{red}(A \cap C_E A) \cup (A \cap B)\color{red}\)
\(C_E A \Delta B = C_E (A \cup B) \cup (A\cap B)\)
comme :
\(B \cap C_E A = \emptyset = A \cap C_E A\)
et
\(C_E A \cap C_E B = C_E (A \cup B),\)
on a donc : \(C_E A \Delta B = C_E (A \cup B) \cup (A \cap B).\)
Question
Montrer que la différence symétrique est une loi associative,
c'est-à-dire que pour tous les sous-ensembles \(A,\) \(B,\) \(C\) de \(E\) on a :
\(A \Delta (B \Delta C) = (A \Delta B) \Delta C\)
Solution détaillée
\((A \Delta B) \Delta C = [(A \Delta B) \cap C_E C] \cup [C_E (A \Delta B) \cap C]\)
\((A \Delta B) \cap C_E C = [(A \cap C_E B) \cup (B \cap C_E A)] \cap C_E C\)
\((A \Delta B) \cap C_E C = (A \cap C_E B \cap C_E C) \cup (B \cap C_E A \cap C_E C)\)
On utilise maintenant la relation montrée à l'exercice n°4 :
\(C_E A \Delta B = (A \cap B) \cup C_E (A \cup B)\)
\(C \cap C_E A \Delta B = C \cap [(A \cap B) \cup C_E (A \cup B)]\)
\(C \cap C_E A \Delta B = (A \cap B\cap C) \cup (C \cap C_E A \cap C_EB)\)
En regroupant les deux résultats, on obtient :
\(A \Delta (B \Delta C) = (A \cap B\cap C) \cup (A \cap C_E B \cap C_E C) \cup (B \cap C_E A \cap C_E C)\cup (C \cap C_E A \cap C_E B)\)
\((A \Delta B) \Delta C\) est formé des éléments qui appartiennent ou bien à exactement un seul des ensembles \(A,\) \(B,\) \(C,\) ou bien aux trois en même temps.
Pour \(A \Delta (B \Delta C),\) on peut recommencer le même type de calcul ou voir que les trois ensembles jouant le même rôle, on sera conduit au même résultat.
Question
Montrer que l'intersection est distributive[3] par rapport à la différence symétrique[2] ; c'est-à-dire que pour tous les sous-ensembles \(A,\) \(B,\) \(C\) :
\(A \cap (B \Delta C) = (A \cap B) \Delta (A \cap C)\)
Solution détaillée
\(B \Delta C = (B \cap C_E C) \cup (C \cap C_E B)\)
\(\color{blue}A \cap (B \Delta C)\color{black} = A \cap [(B \cap C_E C) \cup (C \cap C_E B)]\)
En utilisant les lois de distributivité, on obtient :
\(A \cap (B \Delta C) = \color{blue}(A \cap B \cap C_E C) \cup (A \cap C \cap C_E B) \color{black}~~(a)\)
Evaluons le deuxième membre :
\(\color{blue}(A \cap B) \Delta (A \cap C)\color{black} =\color{green} [A \cap B \cap C_E (A \cap C)] \color{black}\cup\color{red} [(A \cap C) \cap C_E (A \cap B)]~~\color{black} (b)\)
Evaluons la première formule entre crochets :
\(\color{green}A \cap B \cap C_E (A \cap C)\color{black} = (A \cap B) \cap (C_E A \cup C_E C)\)
\(= (A \cap B \cap C_E A) \cup (A \cap B \cap C_E C)\)
Donc :
\(A \cap B \cap C_E (A \cap C) = \color{green}A \cap B \cap C_E C~~\color{black} (c)\)
Evaluons la deuxième formule entre crochets :
\(\color{red}A \cap C \cap C_E (A \cap B)\color{black} = (A \cap C) \cap (C_E A \cup C_E B)\)
\(= (A \cap C \cap C_E A) \cup (A \cap C \cap C_E B)\)
Donc :
\(A \cap C \cap C_E (A \cap B) =\color{red} A \cap C \cap C_E B~~\color{black} (d)\)
En regroupant les résultats \(a, b, c, d,\) on obtient :
\(\color{blue}A \cap (B \Delta C) \color{black}=\color{blue} (A \cap B) \Delta (A \cap C)\)