Définition
Définition
On définit une application \(f\) d'un ensemble \(E\) dans un ensemble \(F\) en se donnant son graphe \(G,\) \(G\subset E \times F\) ; ce sous-ensemble possède la propriété suivante :
pour tout \(x\) de \(E,\) il y a un unique \(y\) tel que le couple \((x, y)\) appartient à \(G.\) Pour tout \(x\) de \(E,\) soit \(f(x)\) l'unique point \(y\) de \(F\) tel que \((x, y)\in G.\)
Notation
On note l'application
\(f : E\rightarrow F,~~ x \mapsto f(x) = y\)
\(E\) est l'ensemble de définition (ou ensemble de départ), \(F\) est l'ensemble d'arrivée ;
si \(y = f(x),\) \(y\) est l'image de l'élément \(x\) de \(E\) et \(x\) est un antécédent de l'élément \(y\) de \(F.\)
N'oubliez pas
À un élément de l'ensemble de définition est associée une image et une seule. Par contre un élément de l'ensemble d'arrivée peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Exemple :
Les fonctions numériques étudiées au lycée.
Les transformations géométriques que vous avez étudiées au lycée sont suivant les cas, des applications du plan dans le plan, (par exemple une translation ou une rotation autour d'un point, etc), ou des applications de l'espace dans l'espace, (par exemple une symétrie orthogonale par rapport à un plan), ou des applications de l'espace dans un plan, (par exemple une projection orthogonale sur ce plan).
A tout produit de deux ensembles \(E\) et \(F,\) on peut associer deux applications appelées ses deux projections canoniques :
première projection \(pr_1 : E \times F\rightarrow E,~~ (x, y) \mapsto x\)
deuxième projection \(pr_2 : E \times F\rightarrow F,~~ (x, y) \mapsto y\)
A tout ensemble \(E\) est associée une application appelée application identique de \(E,\) notée \(Id_E : E\rightarrow E, x \mapsto x.\)
On a donc :\(\forall x\in E~~ Id_E (x) = x.\) Le graphe de \(Id_E\) est la diagonale de \(E \times E,\) c'est à dire le sous-ensemble \(\{(x, x)~ |~ x\in E \}.\)
Voici une fonction très bizarre appelée fonction de Dirichlet, qu'on ne peut pas représenter, (essayez !) :
\(\phi : \mathbb R\rightarrow \mathbb R\) avec \(\phi (x) = 1\) si \(x\in Q\) et \(\phi(x) = 0\) sinon.
Ces différents exemples doivent vous montrer que la notion d'application est une notion très générale qui intervient dans tous les secteurs des mathématiques.