Relations II

Partie

Question

On définit sur \(\mathbb R^2\) la relation \(p\) :

\((X , Y) ~p~ (X' , Y')\Leftrightarrow X + Y = X' + Y'\)

  1. Montrer que \(p\) est une relation d'équivalence.

  2. Quelle est la classe d'équivalence du couple \((0 , 0)\) ?

  3. Soit \(f\) une application de \(\mathbb R^2\) dans \(\mathbb R\) définie par :

    \(f : (X , Y) \rightarrow X + Y\)

    Montrer que deux éléments de \(\mathbb R^2\) équivalents modulo \(p\) ont la même image par \(f\) et que deux éléments non équivalents ont des images distinctes.

  4. En déduire qu'entre l'ensemble des classes (qu'on appelle aussi ensemble quotient \(\mathbb R^2 / p )\) et \(\mathbb R,\) il existe une bijection \(g\) que l'on précisera.

Solution détaillée

  1. La relation \(p\) est réflexive, symétrique et transitive. C'est une relation d'équivalence.

  2. La classe d'équivalence du couple \((0 , 0)\) est constituée des couples \((X , - X).\)

  3. Deux éléments équivalents modulo \(p\) ont la même image par \(f.\)

    Si \((X , Y)\) n'est pas équivalent à \((X' , Y')\) alors \(X + Y\neq X' + Y'\) donc \(f (X , Y)\neq f (X' , Y').\)

    Ces deux éléments \((X , Y)\) et \((X' , Y')\) ont des images distinctes par \(f.\)

  4. Une classe d'équivalence est formée de l'ensemble des couples \((X , Y)\) tels que \(X + Y = c.\)

    C'est la droite \(Y = - x + c.\)

    A toute classe d'équivalence, droite parallèle à la deuxième bissectrice, on associe son ordonnée à l'origine.

    Cela fournit la bijection recherchée entre l'ensemble des classes et l'axe des ordonnées.

Question

Soit \(E\) un ensemble et \(F\) un sous-ensemble de \(P (E)\) ordonné par inclusion.

  1. Montrer que pour que \(F\) ait un élément minimum, il faut et il suffit que l'intersection des éléments de \(F\) appartienne à \(F.\)

  2. Montrer que pour que \(F\) ait un élément maximum, il faut et il suffit que la réunion des éléments de \(F\) appartienne à \(F.\)

Solution détaillée

  1. Condition nécessaire :

    Si \(m\) est un minimum, cet ensemble est contenu dans tous les éléments de \(F\) et donc dans leur intersection.

    \(m\) appartient à \(F\) et donc contient l'intersection des éléments de \(F.\) \(m\) est donc l'intersection des éléments de \(F.\)

  2. Condition suffisante :

    Réciproquement, si l'intersection de tous les éléments de \(F\) qui est un minorant des éléments de \(F\) appartient à \(F ,\) c'est un minimum.

Même démonstration pour le maximum, la réunion remplace l'intersection.

Question

Soient \(E\) et \(F\) deux ensembles totalement ordonnés, ayant respectivement \(n\) et \(p\) éléments, \(n < p.\)

  1. Combien y a-t-il d'applications strictement décroissantes de \(E\) dans \(F\) ?

  2. Combien y a-t-il d'applications strictement croissantes de \(E\) dans \(F\) ?

  3. Combien y a-t-il d'applications strictement croissantes de \(F\) dans \(E\) ?

  4. Combien y a-t-il d'applications injectives de \(E\) dans \(F\) ?

  5. Combien y a-t-il d'applications injectives de \(F\) dans \(E\) ?

Solution détaillée

  1. Soient \(x_1 < x_2 < x_3 < \ldots < x_n\) les éléments ordonnés de \(E.\)

    Il y a autant d'applications strictement croissantes de \(E\) dans \(F\) que de suites \(y_1 < y_2 < y_3 <\ldots < y_n ,\) d'éléments de \(F.\)

    Or toute partie à \(n\) éléments de \(F\) peut être ordonnée d'une seule façon. Il y a donc \(C_n^p\) applications strictement croissantes.

  2. Si \(y_1 < y_2 < y_3 < \ldots <y_n ,\) l'application, qui à \(x_i\) associe \(y_{n +1 - i}\) est strictement décroissante.

    Il y a donc aussi \(C_n^p\) applications strictement croissantes de \(E\) dans \(F.\)

  3. Il n'y a pas d'application strictement croissante de \(F\) dans \(E\) puisqu'on ne peut trouver de suite ordonnée de \(p\) éléments dans \(E~~ (p > n).\)

  4. A chaque application strictement croissante de \(E\) dans \(F ,\) on peut associer \(n!\) injections et faisant une permutation sur les images \(y_1\ldots y_n\) de \(x_1\ldots x_n.\)

  5. Il n'y a pas d'application injective de \(F\) dans \(E\) puisque \(n < p.\)