Exercice n°1
Partie
Dans l'ensemble des parties \(P(E)\) de l'ensemble \(E,\) on considère deux parties \(A\) et \(B.\)
Question
Donner une condition nécessaire et suffisante pour que l'équation :
\(A\cap X = B\) ait une solution \(X.\)
Solution détaillée
Condition nécessaire et suffisante pour que \(A\cap X = B\) ait une solution \(X\) :
- Condition nécessaire :
Pour que \(B = A\cap X\) ait une solution \(X,\) il faut que \(B\) soit inclus dans \(A\) puisque \(A\cap X\) est toujours un sous-ensemble de \(A.\)
- Condition suffisante :
Supposons \(B\subset A,\) alors \(B = A\cap X\) possède une solution \(X = B.\)
En fait il y a d'autres solutions. Soit \(Y\) un sous-ensemble quelconque de \(C_E A.\) Alors \(X_1 = B\cup Y\) est aussi solution.
En effet \(A\cap (B\cup Y) = (A\cap B)\cup (A\cap Y)\)
comme \(Y \subset C_E A~~ A\cap Y = \emptyset~et~ A\cap X_1 = A\cap B = B.\)
Question
Même question avec :
\(A\cup X = B\)
Solution détaillée
Condition pour que \(A\cup X = B\) ait une solution \(X\) :
Il est nécessaire que \(A\) soit inclus dans \(B.\)
En effet \(A\subset A\cup X\) si il existe une solution \(A\cup X\subset B\)
Cette condition est suffisante.
- Supposons \(A\subset B\) et soit \(X = B \backslash A,\) alors \(A\cup X = B.\) Donc \(X = B \backslash A\) est une solution.
Il y en a d'autres.
Soit \(Y\subset A,\) alors \(X_1 = (B \backslash A)\cup Y\) est aussi une solution.
\(A \cup X_1 = A\cup (B \backslash A)\cup Y = (A\cup Y)\cup (B \backslash A)\)
comme \(Y\subset A,~~ A\cup Y = A\)