Démonstrations

- Première implication :

Montrons que si \(f\) est injective, alors pour toutes les parties \(X\) et \(Y\) de \(A\) on a \(f (X\cap Y) = f (X)\cap f (Y).\)

Comme on a toujours \(f (X\cap Y)\subset f (X)\cap f (Y),\) nous devons montrer que si \(f\) est injective \(f (X)\cap f (Y)\subset f (X\cap Y).\)

Prenons un élément \(b\) dans \(f (X)\cap f (Y).\)

\(b\) est dans \(f (X)\) il y a donc un antécédent \(x\) dans \(X.\)

\(b\) est dans \(f (Y)\) il y a donc un antécédent \(y\) dans \(Y.\)

\(z = f (x) = f (y).\)

On utilise ici l'hypothèse \("f\) est injective" pour affirmer que les deux éléments \(x\) et \(y\) qui ont la même image sont égaux. \(x = y,\) cet antécédent commun est dans \(X\) et \(Y\) donc dans \(X\cap Y.\)

\(z\in f (X\cap Y)\) on a montré l'implication :

\(f\) est injective \(\Rightarrow \forall X\subset A,~\forall Y\subset A, [f (X)\cap f (Y) = f (X\cap Y)]\)

- Réciproque :

On veut montrer que la propriété : "Pour toutes parties \(X\) et \(Y\) de \(A\) on a : \(f (X\cap Y) = f (X)\cap f (Y)"\) implique l'injectivité de \(f.\)

Pour montrer que \(f\) est injective, on prend deux éléments \(x\) et \(y\) de \(A\) qui ont la même image \(f (x) = f (y).\)

Si on suppose \(x\) et \(y\) distincts, on pose \(X = \{x\}~~ Y = \{y\}.\) Alors \(X\cap Y = \emptyset.\)

On arrive à une contradiction en utilisant la propriété ci-dessus.

\(f (X\cap Y) =\emptyset\)

\(f (X)\cap f (Y) = \{f (x)\} = \{f (y)\}.\)

Donc \(x\) et \(y\) sont confondus. Ce qui montre l'injectivité de \(f.\)