Introduction
Il existe dans l'ensemble des polynômes une notion de divisibilité. Elle est fortement liée au théorème de la division euclidienne qui est fondamental dans la théorie des polynômes. La manipulation de ces notions nécessite l'introduction de nouvelles parties structurées appelées "idéaux".
Ce que vous devez savoir avant d'aborder cette ressource
Indispensable
Les propriétés de l'anneau Z des entiers rationnels.
Les règles de calcul dans R et C ou plus généralement dans un corps.
Ce que vous allez tester dans cette ressource
Le théorème de la division euclidienne.
La notion de divisibilité dans K[X].
Ce que vous devez savoir à la fin de la ressource
Pratiquer la division euclidienne de polynômes.
A partir d'applications types, savoir aller chercher cet outil pour d'autres applications.
Temps de travail prévu : 105 min.
Il vous est conseillé de prendre des notes manuscrites pour bien assimiler l'ensemble du chapitre.
Commentaires
La connaissance complète des structures de groupe, d'anneau et de corps n'est pas supposée dans cette ressource. Les définitions utiles seront données ; les mots faisant référence aux structures algébriques sous-jacentes seront utilisés, après avoir été définis, chaque fois que cela simplifiera l'exposition, simplement pour fixer le vocabulaire.
La lettre K désigne un corps. Les lecteurs qui ne connaissent pas cette notion, peuvent considérer que \(K\) désigne l'ensemble des nombres complexes \(C\) ou des nombres réels \(R\), muni des opérations habituelles. Cela suffit à la compréhension de l'ensemble.
Tous les exemples sont traités dans le cas où \(K = R\) ou \(K = C.\)
La théorie des polynômes met en évidence un parallélisme entre l'anneau des polynômes à coefficients dans un corps et l'anneau \(Z\) des entiers relatifs. La clef de ce parallélisme est l'existence dans \(K[X]\) comme dans \(Z\) d'une division dite euclidienne. Comme dans \(Z\), cette division sera à la base de la plupart des propriétés de \(K[X]\).