Arithmétique dans K[X]

L'existence du théorème de la division euclidienne dans \(K[X]\) permet d'étudier des propriétés arithmétiques de \(K[X]\) ; elles sont tout à fait semblables à celles de \(Z\), y compris dans le vocabulaire : c'est ainsi que les notions de Plus Grand Commun Diviseur, Plus Petit Commun Multiple de polynômes vont être introduites. L'existence de ces objets mathématiques va être démontrée, ainsi que leur mode de fonctionnement.

• Ce que vous devez savoir avant d'aborder cette ressource

  Indispensable

  • Les règles de calcul dans \(K[X]\).

  • La division euclidienne.

  • La structure des idéaux de \(K[X]\).

  • Les propriétés de l'ensemble des multiples d'un polynôme.

• Ce que vous allez tester dans cette ressource

  • Les notions de plus grand commun diviseur et de plus petit commun multiple pour les polynômes.

  • Les notions de polynômes premiers entre eux et tous les théorèmes d'arithmétique dans \(K[X]\) : Théorèmes de Gauss, Bézout.

• Ce que vous devez savoir à la fin de la ressource

  • Trouver explicitement le PGCD et le PPCM de polynômes, les polynômes "\(U\) et \(V\)" qui interviennent dans le théorème de Bézout.

• Temps de travail prévu : 75 min

• Commentaires

  Cette ressource a deux aspects : un aspect théorique pour démontrer l'existence du PGCD ou du PPCM et en déduire les grands théorèmes de l'arithmétique (Gauss, Bézout, ...) et un aspect pratique et même algorithmique lorsqu'il s'agit de déterminer explicitement ces polynômes.

Il vous est conseillé de prendre des notes manuscrites pour bien assimiler l'ensemble du chapitre.