Égalité de restes
Partie
Question
Soit les polynômes
\(A(X)\in R\), \(B(X)=X^3-2X^2+X-2\),\(B_1(X)=X^2+1\), \(B_2(X)=X-2\)
On note \(Q\) et \(R\) respectivement le quotient et le reste de la division euclidienne de \(A\) par \(B\).
Montrer que les restes des divisions euclidiennes de A et R par \(B_1\) sont égaux.
Même question en remplaçant \(B_1\) par \(B_2\).
Aide simple
Remarquer que \(B=B_1B_2\).
Aide méthodologique
Écrire l'identité de la division euclidienne de \(A\) par \(B\) puis celle de R par \(B_1\).
Aide à la lecture
On est en présence d'un polynôme \(A\) à coefficients réels.
Rechercher un lien entre les polynômes \(B\), \(B_1\) et \(B_2\).
Solution détaillée
L'identité de la division euclidienne de \(A\) par \(B\) s'écrit :
(1) \(A=BQ+R\), \(R=0\) ou \(deg(R)<3\).
On remarque l'égalité \(X^3-2X^2+X-2=(X^2+1)(X-2)\), soit (2) \(B=B_1B_2\).
Notons \(Q_1\) et \(R_1\) le quotient et le reste de la division euclidienne de \(R\) par \(B_1\)
alors (3) \(R=B_1Q_1+R_1\), \(R_1=0\) ou \(deg(R_1)<2\).
On reporte les égalités (2) et (3) dans l'égalité (1) et on obtient \(A=(B_1B_2)Q+B_1Q_1+R_1\), d'où \(A=B_1(B_2Q+Q_1)+R_1\), \(R_1=0\) ou \(deg(R_1)<2\).
Or \(deg(B_1)=2\) donc l'égalité précédente est l'identité de la division euclidienne de \(A\) par \(B_1\) donc le reste de la division euclidienne de \(A\) par \(B_1\) est égal à \(R_1\).
De la même façon, en notant \(Q_2\) et \(R_2\) le quotient et le reste de la division euclidienne de \(R\) par \(B_2\) on obtient .
(4)\( R=B_2Q_2+R_2\), \(R_2=0\) ou \(deg(R_2)<1\).
Puis \(A=(B_1B_2)Q+B_2Q_2+R_2\) et enfin \(A=B_2(B_1Q+Q_2)+R_2\), \(R_2=0\) ou \(deg(R_2)<1\).
Cette dernière égalité est l'identité de la division euclidienne de \(A\) par \(B_2\) donc le reste de la division euclidienne de \(A\) par \(B_2\) est égal à \(R_2\).