Divisibilité
Partie
Question
Soit les polynômes :
\(A_n(X)=\sin \phi X^n-\sin n\phi X+\sin(n-1)\phi\), \(n\in N^*\), \(\phi \in R\)
\(B(X)=X^2-2\cos\phi X+1\)
Montrer que les polynômes \(A_n\) sont divisibles par le polynôme B dans \(R[X]\).
Aide simple
\(\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a\)
\(\sin(a-b)=\sin a\cos b-\in b\cos a\)
d'où \(\sin(n-1)\phi+\sin(n+1)\phi =2\sin n\phi\cos \phi\)
Aide méthodologique
Utiliser un raisonnement par récurrence.
Aide à la lecture
Noter que les coefficients sont des nombres réels.
Solution détaillée
On utilise un raisonnement par récurrence.
Cas \(n=1\)
\(A_n(X)=\sin\phi X-\sin \phi X+\sin 0=0\), le polynôme nul est divisible par tout polynôme donc en particulier par \(B\).
Supposons \(A_n\) divisible par \(B\), montrons alors que \(A_{n+1} \)est aussi divisible par \(B\).
Donc \(\exists Q_n\in [X]\), \(\sin\phi X^n-\sin n\phi X+\sin(n-1)\phi=B(X)Q_n(X)\) (1).
Transformons \(A_{n+1}(X)=\sin\phi X^{n+1}-\sin(n+1)\phi X+\sin n\phi\) en tenant compte de l'égalité (1)
\(A_{n+1}(X)=(\sin n\phi X-\sin(n-1)\phi +B(X)Q_n(X))X-\sin(n+1)\phi X+\sin n\phi\),
On en déduit
\(A_{n+1}(X)=\sin n\phi X^2-(\sin(n-1)\phi+\sin(n+1)\phi)X+\sin n\phi+XB(X)Q_n(X)\)
Or
\(\begin{array}{ccc}\sin(n-1)\phi+\sin(n+1)\phi&=&\sin n\phi\cos \phi-\sin\phi\cos n\phi+\sin n\phi\cos\phi+\sin\phi\cos n\phi\\&=&2\sin n\phi\cos\phi\end{array}\)
D'où \(A_{n+1}(X)=\in n\phi(X^2-2\cos\phi X+1)+XB(X)Q_n(X)=B(X)(\sin n\phi+XQ_n(X))\).
Cette dernière égalité exprime la divisibilité de \(a_{n+1}\) par \(B\).
Le raisonnement par récurrence est ainsi terminé.