PGCD(AC, BC)
Partie
Question
Soient \(A\) et \(B\) deux polynômes premiers entre eux et soit \(C\) un polynôme unitaire.
Montrer que \(C\) est le PGCD des polynômes \(AC\) et \(BC\).
Aide simple
Par définition, le PGCD, noté \(D\), des polynômes \(P_1,P_2,\ldots,P_n\) non tous nuls est le seul polynôme unitaire satisfaisant aux conditions a. et b. suivantes :
a. Le polynôme D divise tous les polynômes \(P_i\),
b. Tout polynôme divisant chacun des \(P_i\) divise \(D\).
Rappel de l'identité de Bézout : si deux polynômes \(A\) et \(B\) sont premiers entre eux, il existe un couple de polynômes \((U,V)\) tels que \(AU+BV=1\).
Aide méthodologique
Se servir de la définition de PGCD de deux polynômes, et de la caractérisation de deux polynômes premiers entre eux.
Solution détaillée
Par définition, le PGCD, noté D, des polynômes \(P_1,P_2,\ldots,P_n\) non tous nuls est le seul polynôme unitaire satisfaisant aux conditions a. et b. suivantes :
a. Le polynôme D divise tous les polynômes \(P_i\),
b. Tout polynôme divisant chacun des \(P_i\) divise \(D\).
D'après les hypothèses, le polynôme \(C\) est unitaire.
Il est immédiat aussi que le polynôme \(C\) divise les deux produits de polynômes \(AC\) et \(BC\).
Il reste à vérifier que tout polynôme divisant chacun des polynômes \(AC\) et \(BC\) divise \(C\) pour conclure que \(C\) est le PGCD des polynômes \(AC\) et \(BC\).
Or les polynômes \(A\) et \(B\) étant premiers entre eux satisfont à une identité de Bézout, c'est-à-dire qu'il existe un couple de polynômes \((U,V)\) tels que \(AU+BV=1\).
En multipliant par \(C\) les deux membres de cette égalité, on obtient : \(ACU+BCV=C\).
Alors tout polynôme divisant chacun des polynômes \(AC\) et \(BC\) divise le polynôme \(C\).
Donc le polynôme \(C\) est bien le PGCD des polynômes \(AC\)et \(BC\).
Question
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois polynômes, le polynôme \(C\) étant unitaire.
Montrer l'égalité suivante : \(PGCD(AC,BC)=C\times PGCD(A,B)\)
Aide simple
Rappel : les quotients de deux polynômes non tous deux nuls par leur PGCD sont des polynômes premiers entre eux.
Aide à la lecture
Dans la question 2. on ne suppose plus \(A\) et \(B\) premiers entre eux.
Aide méthodologique
Se servir de la définition de PGCD de deux polynômes, et de la caractérisation de deux polynômes premiers entre eux.
Solution détaillée
Dans cette question, on ne suppose plus \(A\) et \(B\) premiers entre eux.
On note \(D\) leur PGCD. Il existe donc deux polynômes \(A'\) et \(B'\) tels que \(A=DA'\)
et \(B=DB'\).
On sait de plus que les polynômes \(A'\) et \(B'\) sont premiers entre eux.
On a donc \(AC=DCA'\) et \(BC=DCB'\), \(DC\) est un polynôme unitaire en tant que produit de polynômes unitaires, et \(A'\) et \(B'\) sont premiers entre eux.
D'après la question 1., le PGCD de \(DCA'\) et \(DCB'\) est \(DC\). On a donc bien :
\(PGCD(AC,BC)=C\times PGCD(A,B)\)