Endomorphisme ou matrice diagonalisable

\(P_{car,M(a,b)}(X)=\textrm{det}(M(a,b)-XI_4)=\left|\begin{array}{cccc}a-X&0&0&b\\0&a-X&b&0\\0&b&a-X&0\\b&0&0&a-X\end{array}\right|\)

En ajoutant à la ligne 1 les trois autres lignes on fait apparaître une factorisation par \(a+b-X\) :

\(P_{car,M(a,b)}(X)=(a+b-X)=\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&1\\0&a-X&b&0\\0&b&a-X&0\\b&0&0&a-X\end{array}\right|\)

On enlève successivement la colonne 1 à chacune des autres colonnes :

\(P_{car,M(a,b)}(X)=(a+b-X)=\left|\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&a-X&b&0\\0&b&a-X&0\\b&-b&-b&a-b-X\end{array}\right|\)

On développe suivant la première ligne :

\(P_{car,M(a,b)}(X)=(a+b-X)=\left|\begin{array}{ccc}a-X&b&0\\b&a-X&0\\-b&-b&a-b-X\end{array}\right|\)

\(P_{car,M(a,b)}(X)=(a+b-X)(a-b-X)\left[(a-X)^2-b^2\right]=(a+b-X)^2(a-b-X)^2\)

Le polynôme caractéristique de \(M(a,b)\) est scindé dans \(R\).

[3 points]

On cherche si les racines \(a+b\) et \(a-b\) sont distinctes.

\(a+b=a-b\Leftrightarrow b=0\)

Si \(b=0\), la matrice \(M(a,b)\) a une seule valeur propre égale à \(a\).

Or \(M(a,0)=\left(\begin{array}{cccc}a&0&0&0\\0&a&0&0\\0&0&a&0\\0&0&0&a\end{array}\right)=aI_4\).

La matrice \(M(a,0)\) est diagonale donc diagonalisable.

[2 points]

Si \(b\ne0\), la matrice \(M(a,b)\) a deux valeurs propres doubles.

Elle est diagonalisable si et seulement si à chaque valeur propre double correspond un sous-espace propre de dimension égale à 2.

Soit \(E_{\lambda_1}\) le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_1=a+b\) et \(T=\left(\begin{array}{cccccc}x\\y\\z\\t\end{array}\right)\) un élément de \(M_{4,1}(R)\).

\(T\in E_{\lambda_1}\Leftrightarrow(A-(a+b)I_4)\left(\begin{array}{cccccc}x\\y\\z\\t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0\\0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cccc}-b&0&0&b\\0&-b&b&0\\0&b&-b&0\\b&0&0&-b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}x\\y\\z\\t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0\\0\\0\\0\end{array}\right)\)

\(T\in E_{\lambda_1}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}b(-x+t)=0\\b(-y+z)=0\\b(y-z)=0\\b(x-t)=0\end{array}\right.\)

Comme \(b\ne0\), \(T\in E_{\lambda_1}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}t=x\\z=y\end{array}\right.\)

\(T\in E_{\lambda_1}\Leftrightarrow\exists(x,y)\in R^2,T=x\left(\begin{array}{cccccc}1\\0\\0\\1\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{cccccc}0\\1\\1\\0\end{array}\right)\)

\(E_{\lambda_1}\) est le sous-espace vectoriel de \(M_{4,1}(R)\) engendré par les vecteurs \(\left(\begin{array}{cccccc}1\\0\\0\\1\end{array}\right)\) et \(\left(\begin{array}{cccccc}0\\1\\1\\0\end{array}\right)\). Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, la dimension de \(E_{\lambda_1}\) est donc égale à 2.

[2 points]

Soit \(E_{\lambda_2}\) le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_2=a-b\) et \(T=\left(\begin{array}{cccccc}x\\y\\z\\t\end{array}\right)\) un élément de \(M_{4,1}(R)\).

\(T\in E_{\lambda_2}\Leftrightarrow(A-(a-b)I_4)\left(\begin{array}{cccccc}x\\y\\z\\t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0\\0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow\left(\begin{array}{cccc}b&0&0&b\\0&b&b&0\\0&b&b&0\\b&0&0&b\end{array}\right)\left(\begin{array}{cccccc}x\\y\\z\\t\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccc}0\\0\\0\\0\end{array}\right)\)

\(T\in E_{\lambda_2}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}b(x+t)=0\\b(y+z)=0\end{array}\right.\)

Comme \(b\ne0\), \(T\in E_{\lambda_2}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}t=-x\\z=-y\end{array}\right.\)

\(T\in E_{\lambda_2}\Leftrightarrow\exists(x,y)\in R^2,T=x\left(\begin{array}{cccccc}1\\0\\0\\-1\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{cccccc}0\\1\\-1\\0\end{array}\right)\)

\(E_{\lambda_2}\) est le sous-espace vectoriel de \(M_{4,1}(R)\) engendré par les vecteurs \(\left(\begin{array}{cccccc}1\\0\\0\\-1\end{array}\right)\) et \(\left(\begin{array}{cccccc}0\\1\\-1\\0\end{array}\right)\). Ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires, la dimension de \(E_{\lambda_2}\) est donc égale à 2.

[2 points]

La dimension de chaque sous-espace propre est égale à 2. La matrice \(M(a,b)\) est donc diagonalisable.

Elle est semblable à la matrice \(D(a,b)\) avec \(D(a,b)=\left(\begin{array}{cccc}a+b&0&0&0\\0&a+b&0&0\\0&0&a-b&0\\0&0&0&a-b\end{array}\right)\)

\(M(a,b)=PD(a,b)P^{-1}\) où \(P=\left(\begin{array}{cccc}1&0&1&0\\0&1&0&1\\0&1&0&-1\\1&0&-1&0\end{array}\right)\).

[1 point]