Endomorphisme ou matrice diagonalisable

On calcule le polynôme caractéristique de \(f\) :

\(P_{car,f}(X)=\det(A-XI_3)=\left|\begin{array}{cccccccc} \textrm{0,7}-X&\textrm{0,3}&\textrm{0,1}& \\\textrm{0,2}&\textrm{0,5}-X&\textrm{0,3} \\ \textrm{0,1}&\textrm{0,2}&\textrm{0,6}-X \end{array}\right|\)

On ajoute les deux dernières lignes à la première, on fait apparaître ainsi le facteur , par suite :

\(P_{car,f}(X)=(1-X)=\left|\begin{array}{cccccccc} 1&1&1&\\\textrm{0,2}&\textrm{0,5}-X&\textrm{0,3} \\ \textrm{0,1}&\textrm{0,2}&\textrm{0,6}-X \end{array}\right|\),

on retranche ensuite la première colonne aux deux autres et on termine le calcul, on obtient :

\(P_{car,f}(X)=(1-X)=\left|\begin{array}{cccccccc} 1&0&0&\\\textrm{0,2}&\textrm{0,3}-X&\textrm{0,3} \\ \textrm{0,1}&\textrm{0,1}&\textrm{0,5}-X \end{array}\right|=(1-X)(X^2-\textrm{0,8}X+\textrm{0,14})\)

Les racines de \(X^2-\textrm{0,8}X+\textrm{0,14}\) sont \(\lambda_1=\textrm{0,4}-\sqrt{\textrm{0,02}}\) et \(\lambda_2=\textrm{0,4}+\sqrt{\textrm{0,02}}\).

L'endomorphisme \(f\) admet trois valeurs propres distinctes 1, \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\), vérifiant \(0<\lambda_1<\lambda_2<1\), il est donc diagonalisable.

Soient v₀ un vecteur propre de \(f\) associé à la valeur propre 1, v₁ un vecteur propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda_1\), et v₂ un vecteur propre de \(f\) associé à la valeur propre \(\lambda_2\), alors \((v_0,v_1,v_2)\) est une base de vecteurs propres de \(f\) et la matrice de \(f\) dans cette base est bien

\(D=\left(\begin{array}{cccccccc} 1&0&0& \\0&\lambda_1&0\\0&0&\lambda_2\end{array}\right)\)

Soient \(\mu_1\) et \(\mu_2\) des réels. On considère les vecteurs les vecteurs s_n de \(\mathbb R^3\) suivants :

\(s_0=\mu_1v_1+\mu_2v_2\) et \(s_n=f(s_{n-1})\) pour tout entier \(n, n\ge1\).

• On calcule s₁ :

  \(s_1=f(s_0)=f(\mu_1v_1+\mu_2v_2)=\mu_1f(v_1)+\mu_2f(v_2)=\mu_1\lambda_1v_1+\mu_2\lambda_2v_2\)

  On fait l'hypothèse suivante : \(s_n=\mu_1\lambda_1^nv_1+\mu_2\lambda_2^nv_2\).

  On démontre cette égalité par récurrence :

  cette égalité est vraie pour \(n=1\),

  on la suppose vraie pour un entier \(k\) : \(s_k=\mu_1\lambda_1^kv_1+\mu_2\lambda_2^kv_2\),

  alors :

  \(s_{k+1}=f(s_k)=f(\mu_1\lambda_1^kv_1+\mu_2\lambda_2^kv_2)=\mu_1\lambda_1^kf(v_1)+\mu_2\lambda_2^kf(v_2)=\mu_1\lambda_1^{k+1}v_1+\mu_2\lambda_2^{k+2}v_2\)

  donc l'égalité est vraie pour l'entier \(k+1\), donc vraie pour tout entier \(n\).

  Les coordonnées de s_n dans la base \((v_0,v_1,v_2)\) sont donc \((0,\mu_1\lambda_1^n,\mu_2\lambda_2^n)\).

  Autre démonstration :

  En associant s_n au vecteur le vecteur colonne\( \left(\begin{array}{cccccccc} \alpha_n\\ \beta_n \\ \gamma_n \end{array} \right)\) de ses coordonnées dans la base \((v_0,v_1,v_2)\), la relation \(s_n=f(s_{n-1})\) se traduit sous forme matricielle par \(\left(\begin{array}{cccccccc} \alpha_n\\ \beta_n \\ \gamma_n \end{array} \right)=D\left(\begin{array}{cccccccc} \alpha_{n-1}\\ \beta_{n-1} \\ \gamma_{n-1} \end{array} \right)\), et par récurrence on obtient : \(\left(\begin{array}{cccccccc} \alpha_n\\ \beta_n \\ \gamma_n \end{array} \right)=D^n\left(\begin{array}{cccccccc} \alpha_0\\ \beta_0 \\ \gamma_0 \end{array} \right)\), où \(\left(\begin{array}{cccccccc} \alpha_0\\ \beta_0 \\ \gamma_0 \end{array} \right)\) est le vecteur colonne des coordonnées de s₀ dans la base \((v_0,v_1,v_2)\).

  Or \(s_0=\mu_1v_1+\mu_2v_2\), donc

  \(\left(\begin{array}{cccccccc} \alpha_n\\ \beta_n \\ \gamma_n \end{array} \right)=D^n\left(\begin{array}{cccccccc} 0\\ \mu_1 \\ \mu_2 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{cccccccc} 1&0&0& \\0&\lambda_1&0 \\0&0&\lambda_2 \end{array}\right)^n\left(\begin{array}{cccccccc} 0\\ \mu_1\\ \mu_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccc} 1&0&0& \\0&\lambda_1^n&0 \\0&0&\lambda_2^n \end{array}\right)^n\left(\begin{array}{cccccccc} 0\\ \mu_1\\ \mu_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccccccc} 0\\ \mu_1\lambda_1^n\\ \mu_2\lambda_2^n\end{array}\right)\)

  D'où les coordonnées de s_n dans la base \((v_0,v_1,v_2)\) sont \((0,\mu_1\lambda_1^n,\mu_2\lambda_2^n)\).

• Soit \(P\) la matrice de passage de la base canonique de \(\mathbb R^3\) à la base \((v_0,v_1,v_2)\).

  Comme \((x_n ,y_n,z_n)\) sont les coordonnées de s_n dans la base canonique et comme \((0,\mu_1\lambda_1^n,\mu_2\lambda_2^n)\) sont les coordonnées de s_n dans la base \((v_0,v_1,v_2)\), on a la relation :

  \(\left(\begin{array}{cccccccc} x_n\\ y_n \\z_n \end{array} \right)=P\left(\begin{array}{cccccccc} 0\\ \mu_1\lambda_1^n \\ \mu_2\lambda_2^n \end{array} \right)\)

• La matrice \(P\) est une matrice carrée d'ordre 3, dont les coefficients sont des réels fixés. Par suite chacun des réels \(x_n,y_n,z_n\) est de la forme \(\alpha\mu_1\lambda_1^n+\beta\mu_2\lambda_2^n\), or \(\lambda_1\) et \(\lambda_2\) sont des réels positifs strictement inférieurs à 1, donc les suites \((\lambda_1^n)_{n\in\mathbb N}\),et \((\lambda_2^n)_{n\in\mathbb N}\) tendent vers 0.

  On en déduit que les suites \((x_n)_{n\in\mathbb N}, (y_n)_{n\in\mathbb N}\) et \((z_n)_{n\in\mathbb N}\) tendent vers 0 quand \(n\) tend vers l'infini.