Endomorphisme diagonalisable et puissance d'une matrice
Partie
Question
On considère l'endomorphisme \(f\) de \(\mathbb R^3\) dont la matrice dans la base canonique est la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)\).
Montrer que \(f\) est diagonalisable, trouver une base de \(\mathbb R^3\) formée de vecteurs propres de \(f\) et la matrice \(A'\) de \(f\) dans cette base.
Déterminer, pour tout \(n\) appartenant à \(\mathbb N\), la matrice \(A^n\).
Aide méthodologique
Pour savoir si un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel est diagonalisable :
on calcule son polynôme caractéristique,
on détermine les racines dans \(\mathbf K\) du polynôme caractéristique et leur ordre de multiplicité.
L'espace vectoriel est un \(\mathbb R^3\) est un \(\mathbb R\)-espace vectoriel de dimension \(3\). Le polynôme caractéristique de \(f\) est alors un polynôme de degré \(3\) à coefficients dans \(\mathbb R\).
Si le polynôme caractéristique de \(f\) a trois racines réelles distinctes, on peut conclure que \(f\) est diagonalisable (condition suffisante de diagonalisation).
Sinon, on utilise la condition nécessaire et suffisante de diagonalisation : \(f\) est diagonalisable si et seulement si son polynôme caractéristique est scindé et si, pour chaque valeur propre, la dimension du sous-espace propre associé est égale à son ordre de multiplicité en tant que racine du polynôme caractéristique.
Si \(A\) est diagonalisable alors il existe une matrice diagonale \(D\) et une matrice inversible \(P\) telles que \(A=PDP^{-1}\). On a alors pour tout entier naturel \(n\), \(A^n=PD^nP^{-1}\).
Pour calculer \(P^{-1}\), on peut dire que si \(P\) est la matrice de passage de la base \(B\) à la base \(B'\) alors \(P^{-1}\) est la matrice de passage de la base \(B'\) à la base \(B\). On peut aussi utiliser la formule \(\displaystyle{P^{-1}=\frac{1}{\textrm{det}P}\textrm{ }^t\textrm{com}P}\) où \(\textrm{com}P\) est la comatrice de \(P\), c'est-à-dire la matrice des cofacteurs de \(P\).
Solution détaillée
Pour déterminer les valeurs propres de \(f\) on calcule le polynôme caractéristique de \(f\).
\(P_{\textrm{car},f}(X)=\textrm{det}(A-XI_3)=\left|\begin{array}{ccc}1-X&1&-1\\1&1-X&1\\1&1&1-X\end{array}\right|\)
En ajoutant la ligne 2 à la ligne 1 on fait apparaître une factorisation par \(2-X\).
\(P_{\textrm{car},f}(X)=\left|\begin{array}{ccc}2-X&2-X&0\\1&1-X&1\\1&1&1-X\end{array}\right|=(2-X)\left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\1&1-X&1\\1&1&1-X\end{array}\right|\)
On enlève la colonne 1 à la colonne 2.
\(P_{\textrm{car},f}(X)=(2-X)\left|\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&-X&1\\1&0&1-X\end{array}\right|=-X(1-X)(2-X)\)
L'endomorphisme \(f\) de \(\mathbb R^3\) a trois valeurs propres distinctes \(\lambda_1=0\), \(\lambda_2=1\) et \(\lambda_3=2\), il est donc diagonalisable.
Soit \(E_{\lambda_1}\) le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_1=0\) et \(u=(x,y,z)\) un vecteur de \(\mathbb R^3\).
\(u\in E_{\lambda_1}\Leftrightarrow f(u)=0_{\mathbb R^3}\Leftrightarrow A\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}x+y-z=0\\x+y+z=0\\x+y+z=0\end{array}\right.\)
\(u\in E_{\lambda_1}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lllll}x+y=0\\z=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lllll}y=-x\\z=0\end{array}\right.\)
\(u\in E_{\lambda_1}\Leftrightarrow\exists x\in\mathbb R,u=x(1,-1,0)\)
\(E_{\lambda_1}\) est la droite vectorielle de base \(u_1=(1,-1,0)\).
Soit \(E_{\lambda_2}\) le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_2=1\) et \(u=(x,y,z)\) un vecteur de \(\mathbb R^3\).
\(u\in E_{\lambda_2}\Leftrightarrow f(u)=u\Leftrightarrow(f-Id_{\mathbb R^3})(u)=0_{\mathbb R^3}\Leftrightarrow(A-I_3)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}y-z=0\\x+z=0\\x+y=0\end{array}\right.\)
\(u\in E_{\lambda_2}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}y=-x\\z=-x\end{array}\right.\)
\(u\in E_{\lambda_2}\Leftrightarrow\exists x\in\mathbb R,u=x(1,-1,-1)\)
\(E_{\lambda_2}\) est la droite vectorielle de base \(u_2=(1,-1,-1)\).
Soit \(E_{\lambda_3}\) le sous-espace propre associé à la valeur propre \(\lambda_3=2\) et \(u=(x,y,z)\) un vecteur de \(\mathbb R^3\).
\(u\in E_{\lambda_3}\Leftrightarrow f(u)=2u\Leftrightarrow(A-2I_3)\left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}-x+y-z=0\\x-y+z=0\\x+y-z=0\end{array}\right.\)
Les deux premières équations sont équivalentes.
\(u\in E_{\lambda_3}\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}-x+y-z=0\\x+y-z=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{cccccc}x=0\\y=z\end{array}\right.\)
\(u\in E_{\lambda_3}\Leftrightarrow\exists y\in\mathbb R,u=y(0,1,1)\)
\(E_{\lambda_3}\) est la droite vectorielle de base \(u_3=(0,1,1)\).
Les vecteurs \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\) sont des vecteurs propres associés à trois valeurs propres distinctes. Ils sont donc linéairement indépendants et forment une base de \(\mathbb R^3\).
Soit \(B'=(u_1,u_2,u_3)\). Comme \(f(u_1)=0_{\mathbb R^3}\), \(f(u_2)=u_2\), \(f(u_3)=2u_3\) la matrice \(A'\) de \(f\) dans la base \(B'\) est : \(A'=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{array}\right)\).
La matrice de passage de la base \(B\) à la base \(B'\) est \(P=\left(\begin{array}{ccc}1&1&0\\-1&-1&1\\0&-1&1\end{array}\right)\) et \(A=PA'P^{-1}\).
\(A=PA'P^{-1}\) et pour tout entier n strictement positif, \(A^n=P{A'}^nP^{-1}\).
\({A'}^n=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&1&0\\0&0&2^n\end{array}\right)\)
La matrice \(P^{-1}\) est la matrice de passage de la base \(B'=(u_1,u_2,u_3)\) à la base \(B=(e_1,e_2,e_3)\).
\(\left\{\begin{array}{cccc}u_1=&e_1&-e_2&\\u_2=&e_1&-e_2&-e_3\\u_3=&&e_2&+e_3\end{array}\right.\) d'où \(\left\{\begin{array}{cccc}e_1=&&u_2&+u_3\\e_2=&-u_1&+u_2&+u_3\\e_3=&u_1&-u_2&\end{array}\right.\)
et \(P^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0&-1&1\\1&1&-1\\1&1&0\end{array}\right)\)
\(P{A'}^n=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&-1&2^n\\0&-1&2^n\end{array}\right)\) et \(P{A'}^nP^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-1\\2^n-1&2^n-1&1\\2^n-1&2^n-1&1\end{array}\right)\)