Introduction
L'objet de cette ressource est l'introduction et l'étude des propriétés du polynôme minimal d'un endomorphisme d'un \(\mathbf K\)-espace vectoriel de type fini (ou d'une matrice).
Cette notion de polynôme minimal est fondamentale dans la théorie de la réduction des matrices (ou des endomorphismes). Elle permet en effet de résoudre des problèmes difficiles sans nécessiter beaucoup de calculs.
Attention, le lien entre polynôme caractéristique et polynôme minimal n'est pas exposé dans cette ressource, mais dans celle traitant du théorème de Cayley Hamilton.
Prérequis indispensables :
L'algèbre linéaire.
Les polynômes (définition, structure), la notion de fonctions polynômes et leurs propriétés.
Les généralités sur les endomorphismes diagonalisables.
Objectifs :
Acquérir la notion de polynôme minimal d'un endomorphisme d'un espace de type fini et la caractérisation d'un endomorphisme diagonalisable faisant intervenir le polynôme minimal.
Temps de travail prévu : 70 minutes pour le cours, 20 minutes pour le QCI
Il vous est conseillé de prendre des notes manuscrites pour bien assimiler l'ensemble du chapitre.
Dans le dernier paragraphe est traitée la notion de polynôme minimal d'une partie relativement à un endomorphisme. Cette notion, plus fine que celle de polynôme minimal, a des applications très intéressantes. Cependant, elle n'est pas toujours traitée et peut donc éventuellement ne pas être abordée dans un premier temps. Dans le Q.C.I., aucune question ne porte donc sur cette notion.