Calcul des puissances d'une matrice
Durée : 20 mn
Note maximale : 20
Question
On considère la matrice \(A=\left(\begin{array}{ccc} 4&1&-1\\ -6&-1&2 \\ 2&1&1 \end{array} \right)\) et \(I\) la matrice unité d'ordre 3.
Calculer \(P_{car,A}(X)\) le polynôme caractéristique de \(A\).
Montrer que \(A\) est inversible, exprimer A-1 en fonction de A², A, I, puis calculer A-1.
Pour \(n\) entier supérieur ou égal à 3, déterminer le reste de la division euclidienne de Xn par \(P_{car,A}(X)\).
Exprimer An en fonction de A², A, I. En déduire An pour tout entier positif \(n\).
Solution
\(P_{car,A}(X)=\det(A-XI)=\left|\begin{array}{cccccccc} 4-X&1&-1& \\-6&-1-X&2&\\ 2&1&1-X &\end{array}\right|\)
En retranchant la troisième ligne de la première, on obtient :
\(P_{car,A}(X)=\left|\begin{array}{cccccccc} 2-X&0&-2+X& \\-6&-1-X&2&\\ 2&1&1-X &\end{array}\right|=(2-X)\left|\begin{array}{cccccccc} 1&0&-1& \\-6&-1-X&2&\\ 2&1&1-X &\end{array}\right|\)
Puis en additionnant la première colonne à la troisième, on a :
\(P_{car,A}(X)=(2-X)\left|\begin{array}{cccccccc} 1&0&0& \\-6&-1-X&-4&\\ 2&1&3-X &\end{array}\right|=(2-X)[(-1-X)(3-X)+4]\)
\(P_{car,A}(X)=(2-X)(X^2-2X+1)=(2-X)(X-1)^2\)
Si on développe, on obtient : \(P_{car,A}(X)=-X^3+4X^2-5X+2\).
D'après le théorème de Cayley-Hamilton,\(P_{car,A}(X)\) est un polynôme annulateur de \(A\).
D'où la relation : \(-A^3+4A^2-5A+2I=0\), où I désigne la matrice unité d'ordre 3.
On en déduit :
\(A^3-4A^2+5A=2I\)
\(A\left(\frac{1}{2}A^2-2A+\frac{5}{2}I\right)=\left(\frac{1}{2}A^2-2A+\frac{5}{2}I\right)A=I\)
La matrice A est donc inversible et sa matrice inverse est : \(A^{-1}=\frac{1}{2}A^2-2A+\frac{5}{2}I\)
\(A^2=\left(\begin{array}{cccccccc} 8&2&-3&\\-14&-3&6&\\4&2&1& \end{array}\right)\)
D'où \(A^{-1}=\left(\begin{array}{cccccccc} -\frac{3}{2}&-1&\frac{1}{2}&\\5&3&-1&\\-2&-1&1& \end{array}\right)\)
Soit \(n\) un entier supérieur ou égal à 3, la division euclidienne du polynôme Xn par le polynôme caractéristique de \(A\), s'écrit :
\((*)\quad X^n=P_{car,A}(X)Q_n(X)+R_n(X)\) avec \(R_n(X)=0\) ou \(\deg(R_n)<\deg(P_{car,A})\)
Or \(P_{car,A}(X)=-X^3+4X^2-5X+2=(2-X)(1-X)^2\).
Donc le reste \(R_n(X)\) s'écrit : \(R_n(X)=a_nX^2+b_nX+c_n\).
En substituant successivement 1 et 2 à \(X\) on obtient les deux relations :
\(1^n=a_n+b_n+c_n\)
\(2^n=4a_n+2b_n+c_n\)
Le réel 1 étant racine double de \(P_{car,A}(X), P_{car,A}(1)=P'_{car,A}(1)=0\).
On obtient ainsi une troisième relation en dérivant la relation (*) :
\(nX^{n-1}=P'_{car,A}(X)Q_n(X)+P_{car,A}(X)Q_n(X)+2a_nX+b_n\)
d'où \(n1^{n-1}=2a_n+b_n\).
on a donc le système : \(\left\{\begin{array}{lllllll} &a_n+b_n+v_n&=1 \\ &2a_n+b_n&=n \\ &4a_n+2b_n+c_n&=2^n \end{array}\right.\)
La résolution de ce système donne : \(\left\{\begin{array}{lllll} a_n=2^n-n-1 \\ b_n=-2^{n+1}+3n+2 \\ c_n=2^n-2n \end{array}\right.\)
Le reste de la division est donc :
\(R_n(X)=(2^n-n-1)X^2+(-2^{n+1}+3n+2)X+(2^n-2n)\)
De l'égalité (*) de la question précédente on déduit :
\(A^n=P_{car,A}(A)Q_n(A)+R_n(A)\)
D'après le théorème de Cayley-Hamilton, \(P_{car,A}(A)=0\),
d'où \(A^n=R_n(A)=(2^n-n-1)A^2+(-2^{n+1}+3n+2)A+(2^n-2n)I\)
On vérifie que cette relation est encore vraie pour \(n=2\), \(n=1\) et \(n=0\) (avec la convention \(A^0=I\))
Ce qui donne :
\(\forall n\in\mathbb N \quad A^n=\left(\begin{array}{cccccccc} 2^n+2n &n&-2^n+1& \\ -2^{n+1}-4n+2 &1-2n& 2^{n+1}-2 \\ 2n&n&1 \end{array}\right)\)